Skript / lecture notes - Universität Paderborn

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Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik Um die tiefere Ursache für dieses Phänomen besser zu verstehen, nehmen wir an, daß sich das Teilchen im Zustand positiver Energie ψ + befindet. Dieser Zustand ändert sich nicht bei Anwendung des Projektionsoperators ˆP + , siehe 5.318 In order to better understand this phenomenon we assume that the particle is in the positive-energy state ψ + . This will not change by applying the projector ˆP + , cf. 5.318 ψ + = ˆP + ψ + (5.386) Beachtet man noch 5.379, dann erhalten wir In combination with 5.379 we obtain (ˆα − Î cˆ⃗p 2i e− Ĥf t − 1 ) = Ĥ f Ĥ f = ∣ ∣ 〉 ∣∣∣∣ 2i 〈ψ (+) 1 − e− Ĥf t ∣∣∣∣ ˆP+ [Ĥf , ˆα] ˆP + ψ (+) 2Ĥ2 f ∣ 〉 ∣∣∣∣ 〈ψ (+) ˆP+ [Ĥf , ˆα] ˆP 1 − e − 2i Ĥf t + 2Ĥ2 ∣ ψ(+) f (5.387) wobei wir verwendet haben, daß der Projektionsoperator ˆP + und der Hamilton-Operator Ĥ f miteinander kommutieren. Wegen 5.316 und 5.318 folgt weiter where is has been exploited that the projector ˆP + commutes with the Hamiltonian Ĥf . From 5.316 and 5.318 it follows und somit and thus [ ˆP + , ˆ⃗α] = 1 2 [Ẑ, ˆ⃗α] = 1 2|Ĥf | [Ĥf , ˆ⃗α] (5.388) ˆP + [Ĥf , ˆ⃗α] ˆP ∣ + = 2 ∣Ĥf ∣ ˆP + [ ˆP + , ˆ⃗α] ˆP ∣ + = 2 ∣Ĥf ∣ ( 2 ˆP + ˆ⃗α ˆP+ − ˆP ) 2 + ˆ⃗α ˆP + ∣ = 2 ∣Ĥf ∣ ( ˆP+ ˆ⃗α ˆP+ − ˆP ) + ˆ⃗α ˆP+ = 0 (5.389) Mit anderen Worten, in einem Zustand positiver Energie verschwinden die seltsamen Oszillationen. Wird der Zustand des Teilchens auch noch durch einen Eigenzustand des Impulsoperators beschrieben, dann ist die Partikelgeschwindigkeit durch c 2 ⃗p/E(⃗p) gegeben. Man kann mit den gleichen Rechnungen zeigen, daß die Oszillationen auch für jeden Zustand verschwinden, der ausschließlich aus ebenen Wellen negativer Energie aufgebaut ist. Allerdings ist dann die Partikelgeschwindigkeit eines Teilchens im Eigenzustand zum Impulswert ⃗p gegeben durch −c 2 ⃗p/E(⃗p) . Wir haben also das paradoxe Resultat, daß bei negativen Energieeigenwerten die Partikelgeschwindigkeit und der Partikelimpuls entgegengerichtet sind. In other words, the oscillations do not show up in a positive-energy state. If in addition this state is an eigenstate of the momentum operator, the particle 126
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik velocity is given by c 2 ⃗p/E(⃗p). Similarly, the oscillations disappear for any pure negativeenergy state. However, in this case the particle velocity for an eigenstate of the momentum operator with ⃗p is given by −c 2 ⃗p/E(⃗p), i.e., velocity and momentum point in opposite directions! Mischung von Zuständen positiver und negativer Energie Mixing positive and negative-energy states Die Diskussion der Zitterbewegung läßt es wünschenswert erscheinen, Zustände negativer Energie als unphysikalisch zu erklären und von allen weiteren Untersuchungen auszuschließen. Auch ein weiteres Problem wäre damit aus der Welt geschafft. In der Dirac-Theorie ist das Spektrum der Energieeigenwerte nach unten offen. Befindet sich ein quantenmechanisches Teilchen also in einem Zustand mit einer gewissen Energie, so kann es durch Strahlungsprozesse permanent Energie abgeben und so sukzessive Zustände mit immer kleinerer Energie erreichen. Ein einziges Teilchen könnte deshalb entgegen der experimentellen Erfahrung undendlich viel Strahlungsenergie abgeben. Die willkürliche Charakterisierung aller Zustände negativer Energie als physikalisch unzulässig und der damit verbundene Ausschluß aus einer physikalischen Theorie bringt aber neue Probleme mit sich. In diesem Fall würde die notwendige Vollständigkeit der Eigenfunktion beliebiger Operatoren nicht mehr gewährleistet sein, da alle Anteile negativer Energie ausprojiziert werden müssten. Noch gravierender ist aber, daß ein Teilchen, dessen Zustand aus ebenen Wellen positiver Energie zusammengesetzt ist, nur im Fall eines freien Teilchens auch in Zukunft diesen Status behält. In Gegenwart elektromagnetischer Felder gibt es aber stets Übergänge zwischen Zuständen positiver und negativer Energie. Man sieht diese Aussage sofort ein, wenn man bedenkt, daß der Ortsoperator und damit auch alle ortsabhängigen Potentiale keine geraden Operatoren sind. Deshalb wird jeder Zustand, der anfänglich nur aus Impulseigenfunktionen mit positiver Energie besteht, im Laufe der Zeit in einen Zustand umgewandelt, der eine Superposition sowohl aus energetisch positiven wie auch aus negativen Anteilen ist. From the discussion above one might want to exclude the negative-energy states as physical solutions. However, this cannot be done since (i) the eigen value spectrum of any operator would not be complete anymore and (ii) only free particles remain in pure positive- (or negative-)energy states for all times. The presence of electromagnetic fields gives rise to transitions between states of positive and negative energy. This is understood from the fact that the position operator (and thus all spatially dependent potentials) are no even operators and will thus change the sign of the energy of the particle as time evolves. Dirac’s Löchertheorie Hole theory Zur Lösung der mit den negativen Energieeigenwerten verbundenen Probleme verwendete Dirac die Tatsache, daß Elektronen als Spin-1/2-Teilchen das Pauli’sche Ausschließungsprinzip erfüllen. Er nahm deshalb an, daß alle Zustände negativer Energie vollständig besetzt sind und deshalb nach dem Ausschließungsprinzip keinen weiteren Teilchen Platz finden. Dieser vollbesetzte Dirac-See wird als Vakuumzustand interpretiert. Eine direkte Beobachtung der Elektronen des Dirac-Sees ist bei dieser Interpretation nicht möglich. 127
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