Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
P 1,2 . . . Wahrscheinlichkeit, Teilchen 1 im Zustand 1, Teilchen 2 im Zustand 2 zu finden
probability to find particle 1 in state 1, particle 2 in state 2
P 1,2 = |ψ 1,2 | 2 = 4 ( π
) (
a 2 cos2 a λ 1x 1 · cos 2 π
)
a λ 2x 2 (4.15)
P 2,1 = |ψ 2,1 | 2 = 4 ( π
) (
a 2 cos2 a λ 1x 2 · cos 2 π
)
a λ 2x 1 (4.16)
i. allg. generally P 1,2 ≠ P 2,1 für for x 1 ≠ x 2 !
Falls die Teilchen ununterscheidbar sind, wie z.B. Elektronen, ist dieses Ergebnis unphysikalisch!
This result is not meaningful in case of identical particles! Identical particles,
also called indistinguishable or indiscernible particles, are particles that cannot be distinguished
from one another, even in principle!
⇒ Lösung des Problems: Bilden eine Liko aus den orthogonalen WF ψ 1,2 und ψ 2,1 The
problem can be solved by forming a linear combination of the two orthogonal wave
functions ψ 1,2 and ψ 2,1
ψ S (1, 2) = 1 √
2
(ψ 1,2 + ψ 2,1 ) (4.17)
= 1 √
2
(ψ 1 (1)ψ 2 (2) + ψ 1 (2)ψ 2 (1)) (4.18)
ψ A (1, 2) = 1 √
2
(ψ 1,2 − ψ 2,1 ) (4.19)
= 1 √
2
(ψ 1 (1)ψ 2 (2) − ψ 1 (2)ψ 2 (1)) (4.20)
(Übung: Zeigen, daß 〈ψ S |ψ S 〉 = 1 und 〈ψ A |ψ A 〉 = 1 wenn die Einteilchenwellenfunktionen
ψ i (i) normiert sind. Exercise: Show that 〈ψ S |ψ S 〉 = 1 and 〈ψ A |ψ A 〉 = 1 for normalized
single-particle wavefunctions ψ i (i))
Offensichtlich Obviously
ψ S (2, 1) = ˆP ⃗x ψ S (1, 2) = ψ S (1, 2) (4.21)
WF symmetrisch bzgl. Teilchenaustausch Wavefunction symmetric upon particle exchange
ψ A (2, 1) = ˆP ⃗x ψ A (1, 2) = −ψ A (1, 2) (4.22)
WF antisymmetrisch bzgl. Teilchenaustausch Wavefunction antisymmetric upon particle
exchange
⇒ P 1,2 = P 2,1 für ψ S/A , d.h. die neuen Liko tragen der Ununterscheidbarkeit von identischen
Teilchen (z.B. Elektron) Rechnung the linear combinations formed above take the
fact into account that the particles are indistinguishable
Für Vertauschungsoperator ˆP ⃗x gilt For the interchange operator ˆP ⃗x it holds
ˆP 2 ⃗x = ˆP ⃗x ˆP⃗x = Î (4.23)
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