Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Allgemein gilt für das (n + 1)–te Glied der Reihenentwicklung Generally it holds for the
(n + 1)th term of the series
T n+1 = 1 (∫ t
) n
n! ˆT dt ′ Ĥ(t ′ ) . (6.13)
t A
Damit erhalten wir Hence
⎛
∞∑
( ) −i n ∫
1
⎞n
Û(t, t A ) =
n! ˆT ⎝ dt ′ Ĥ(t ′ ) ⎠
n=0
t A
(6.14)
= ˆT e − i ∫ t
t dt ′ Ĥ(t′ ) A . (6.15)
Damit formale Lösung für die Evolutionsgleichung Thus we arrive at the formal solution
of the equation of motion
i ∂ ∂tÛ(t, t A) = ĤÛ(t, t A) (6.16)
gewonnen. Im Spezialfall eines autonomen Hamiltonoperators folgt das bekannte Ergebnis
In the special case of an autonomous Hamiltonian one obtains as expected
Û(t, t A ) = e − i Ĥ(t−t A) . (6.17)
6.2 Propagatoren
Propagators
Starten von Schrödingergleichung Consider Schrödinger equation
formale Lösung durch formal solution given by
i ∂ |ψ(t)〉 = Ĥ|ψ(t)〉 (6.18)
∂t
|ψ(t E )〉 = Û(t E,t A )|ψ(t A )〉 (6.19)
gegeben. Ortsdarstellung erhalten wir durch skalare Multiplikation mit dem Eigenzustand
〈x E | zur Endzeit t E The position representation is obtained by scalar multiplikation by
the eigenstate 〈x E | at the final time t E
〈x E |ψ(t E )〉 = 〈x E |Û(t E, t A )|ψ(t A )〉 (6.20)
∫
= dx A 〈x E |Û(t E, t A )|x A 〉〈x A |ψ(t A )〉 (6.21)
∫
dxA |x A 〉〈x A |=Î
−−→
D.h. die Wahrscheinlichkeitsamplitude The probability amplitude
ψ(x E , t E ) = 〈x E |ψ(t E )〉 (6.22)
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