Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
D.h. im elektromagnetischen Feld ist der kanonisch konjugierte Impuls verschieden vom
mechanischen Impuls m⃗v des Massenpunkts Obviously, the canonical momentum is to be
distinguished from the mechanical momentum m⃗v for charged particles in electromagnetic
fields
Jetzt bestimmen wir die Hamiltonfunktion Now we determine the Hamiltonian function
f∑
H = p i ˙q i − L
i=1
= p x ẋ + p y ẏ + p z ż − L
= ⃗p · ⃗v − L
= 1 m ⃗p(⃗p − q A
c ⃗ ) − m 1
} {{ }
2 m 2 (⃗p − q A
c ⃗ ) 2 − q A
} {{ }
c ⃗ 1 m (⃗p − q A
c ⃗ ) + qϕ
} {{ }
m⃗v
m⃗v
m⃗v
= 1 m (⃗p − q A)(⃗p
c ⃗ − q A)
c ⃗ − 1
2m (⃗p − q A)
c ⃗ 2 + qϕ
(2.8)
d.h. i.e.,
H = 1 (
⃗p − q A)
2m c ⃗ 2
+ qϕ (2.9)
2.2 Schrödingergleichung von Teilchen im elektromagnetischen Feld
Schrödinger equation for particle in electromagnetic field
Übertragen die klassische Hamiltonfunktion eines geladenen Teilchens auf den Hamiltonoperator
des Elektrons The electron Hamiltonian (quantum mechanical operator corresponding
to the total energy of the system) is obtained from the Hamiltonian function
of a charged particle
H → Ĥ = 1 e
[ˆ⃗p − A(ˆx,
2m c ⃗ ] 2
t) + eϕ(ˆx, t) (2.10)
daraus ergibt sich sofort die SG From this we obtain immediately the SE
[
i ˙ψ 1 e
=
(ˆ⃗p − A
2m c ⃗ ) ] 2
+ eϕ ψ (2.11)
bzw. ausmultipliziert (dabei beachten, daß [ˆ⃗p, A] ⃗ = −i( ∇· ⃗ ⃗A)) or expanded, respectively,
remembering that [ˆ⃗p, A] ⃗ = −i( ∇ ⃗ · ⃗A)
[
i ˙ψ ˆp
2
=
2m + eϕ − 1 e
Aˆp
m c ⃗ − 1 e
2m c i (⃗ ∇ · ⃗A) + 1 ( ] e
A)
2m c ⃗ 2
ψ (2.12)
wobei where ˆp = −i ⃗ ∇.
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