Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Kontinuitätsgleichung Continuity equation
Erinnerung QM I, die Lsg. ψ(⃗r, t) der Schrödingergleichung genügte einer Kontinuitätsgleichung
der Form As shown in QM I, the solution ψ(⃗r, t) to the SE satisfies a continuity
equation of the form
∂
∂t ω(⃗r, t) + ⃗ ∇ · ⃗S(⃗r, t) = 0 (5.51)
mit Wahrscheinlichkeitsdichte with probability density function
ω(⃗r, t) = ψ ∗ (⃗r, t)ψ(⃗r, t) (5.52)
und Wahrscheinlichkeitsstrom and probability current (aka probability flux)
⃗S(⃗r, t) =
{
ψ ∗ ( ∇ψ)
2mi
⃗ − ( ∇ψ ⃗ }
∗ )ψ . (5.53)
Läßt sich eine derartige Kontinuitätsgleichung auch für die Lösung der Dirac–Gleichung
aufstellen? May such a continuity equation also be derived from the DE?
Machen Ansatz für Wahrscheinlichkeitsdichte make ansatz for probability density function
⎛ ⎞
ψ 1
w = ψ + ψ = (ψ1, ∗ ψ2, ∗ ψ3, ∗ ψ4)
∗ ⎜ψ 2
⎟
⎝ψ 3
⎠ (5.54)
ψ 4
betrachten Dirac–Gleichung consider DE
i γ k ψ ,k − mc ψ = 0 |ψ + γ 0· (5.55)
und ihre adjungierte Darstellung and its complex conjugate
−i ψ + ,k γk+ − mc ψ + = 0 | · γ 0 ψ (5.56)
(Abkürzung für Ableitung abbreviate A ,k = ∂A
∂x k )
Multiplikation mit ψ + γ 0 von links bzw. γ 0 ψ von rechts ergibt multiplication by ψ + γ 0
from the left and γ 0 ψ from the right, respectively, leads to
Subtraktion ergibt calculate difference
i ψ + γ 0 γ k ψ ,k − mc ψ + γ 0 ψ = 0 (5.57)
−i ψ + ,k γk+ γ 0 ψ − mc ψ + γ 0 ψ = 0 (5.58)
ψ + γ 0 γ k ψ ,k + ψ + ,k γk+ γ 0
} {{ }
ψ = 0 (5.59)
γ 0 γ k
wegen because of
γ µ+ =−γ µ
γ 0 γ µ +γ µ γ 0 =0
}
−−−−−→
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