Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Ĥ ′ ∣
= cos 2ˆθc⃗αˆ⃗p + sin 2ˆθcβ ∣ˆ⃗p ∣ + cos 2ˆθmc 2 β − sin 2ˆθmc 2 ⃗αˆ⃗p
|ˆ⃗p|
= c⃗αˆ⃗p ( cos 2ˆθ − mc
|ˆ⃗p| sin 2ˆθ ) + mc 2 β ( cos 2ˆθ + |ˆ⃗p|
mc sin 2ˆθ ) (5.348)
Auch in diesem Hamilton-Operator treten noch mischende Terme auf. Wir können jetzt
aber ˆθ so wählen, daß diese Terme verschwinden. Dazu muß die Bedingung This Hamiltonian
still contains mixing terms. However, we can choose ˆθ in such a way that these
terms disappear. We require that
tan 2ˆθ = |ˆ⃗p|
mc
(5.349)
erfüllt sein. Aus dieser Beziehung können wir jetzt sofort die Größen cos 2ˆθ und sin 2ˆθ
bestimmen. Wir erhalten This determines cos 2ˆθ and sin 2ˆθ
und and
Damit wird nun Thus
1
cos 2ˆθ = √1+tan = √ mc
2 2ˆθ m 2 c 2 +|ˆ⃗p| 2 (5.350)
sin 2ˆθ =
√ tan 2ˆθ
=
1+tan 2 2ˆθ
|ˆ⃗p|
√m 2 c 2 +|ˆ⃗p| 2 (5.351)
Ĥ ′ = βc m2 c 2 +|ˆ⃗p| 2
√
m 2 c 2 +|ˆ⃗p| 2
= β √
m 2 c 4 + c 2 ∣ ∣∣ˆ⃗p
∣ ∣∣
2
(5.352)
Der Hamilton-Operator Ĥ′ enthält jetzt keine mischenden Terme mehr und zerfällt wegen
der Diagonalstruktur von β in zwei Komponenten, von denen die eine Teilchen mit
positiver, die andere Teilchen mit negativer Energie beschreibt. The Hamiltonian Ĥ′ indeed
contains no terms anymore that mix components of positive and negative energy.
Rather, is has a diagonal structure and describes particles with positive and negative
energy, respectively, separately.
Foldy-Wouthuysen-Transformation für Teilchen im elektromagnetischen Feld
Foldy-Wouthuysen Transformation for particles in electromagnetic fields
Wir wollen uns jetzt wieder dem eigentlichen Problem, nämlich der Bestimmung des
Operators Ŝ für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, zuwenden. Dazu schreiben wir
den Hamilton-Operator 5.329 als Now we are mentally prepared to address the actual
problem, namely the determination of the operator Ŝ in case of a particle that is exposed
to electromagnetic fields. We start from the Hamiltonian as given in Eq. 5.329
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