Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
speziell in particular l s = 1 2 , m s = ± 1 2
Ŝ + ⎫
|χ + 〉 = 0
Ŝ + |χ − 〉 = |χ + 〉
⎪⎬
Ŝ − |χ + 〉 = |χ − 〉
⎪⎭
Ŝ − |χ − 〉 = 0
(3.29)
damit Matrixdarstellung von thus matrix representation of
( )
Ŝ±
〈χ+
Ŝ ± −→
|Ŝ± |χ + 〉 〈χ + |Ŝ± |χ − 〉
(3.30)
〈χ − |Ŝ± |χ + 〉 〈χ − |Ŝ± |χ − 〉
( ) ⎫
Ŝ + 0 1
−→
0 0
⎪⎬
( ) (Gl. (3.29) + Orthogonalität Eq.(3.29) + orthogonality ) (3.31)
Ŝ − 0 0
−→
1 0
⎪⎭
damit thus
für Ŝz gilt it holds
wird mit substituting |χ + 〉 →
Ŝ x = 1 2 (Ŝ+ + Ŝ− ) → ( ) 0 1
2 1 0
Ŝ y = − i 2 (Ŝ+ − Ŝ− ) → ( ) 0 −i
2 i 0
(3.32)
(3.33)
Ŝ z |χ ± 〉 = ± 2 |χ ±〉 (3.34)
( ( ( )
1 0
, |χ
0)
− 〉 → erfüllt für one finds
1)
Ŝz → 1 0
2 0 −1
dimensionslose Darstellung des Spinoperators dimensionless representation
ˆ⃗S = 2 ˆ⃗σ mit with ˆ⃗σ = (ˆσx , ˆσ y , ˆσ z ) (3.35)
wobei die σ die sogenannten Pauli’schen Spinmatrizen sind in terms of the so-called
Pauli spin matrices σ
( )
( )
( )
0 1
0 −i
1 0
ˆσ x = , ˆσ
1 0
y = , ˆσ
i 0
z =
(3.36)
0 −1
gilt it holds
( )
ˆσ x 2 = ˆσ y 2 = ˆσ z 2 1 0
= Î = 0 1
(klar obviously) (3.37)
⇒ Ŝ2 = 2
4 (ˆσ2 x + ˆσ y 2 + ˆσ z) 2 (3.38)
= 3 4 2 Î = 1 ( ) 1
2 2 + 1 2 Î (3.39)
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