Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
and ψ (−) that consists of negative energy plane waves. Obviously it holds Ẑψ(+) = ψ (+)
as well as Ẑψ(−) = −ψ (−) and the projectors are given by
ˆP + = 1 2 (1 + Ẑ), ˆP− = 1 2
(1 − Ẑ). (5.318)
Tatsächlich erhalten wir mit diesen Projektoren Application of the projectors results in
ˆP ± = 1 (
2 1 ± Ẑ)(ψ (+) + ψ (−))
= 1 (
2 ( ψ (+) + ψ (−) ± Ẑψ(+) ± Ẑψ(−))
ψ (+) + ψ (−) ± ψ (+) ∓ ψ (−)) (5.319)
= ψ (±)
= 1 2
Wir können jeden Operator bezgl. seiner Wirkung auf die Zustände positiver und negativer
Energie charakterisieren. Ein gerader Operator [ Â ] erzeugt bei seiner Anwendung
auf einen Zustand positiver Energie ψ (+) bzw. auf einen Zustand negativer Energie ψ (−)
wieder einen Zustand ˜ψ (+) positiver bzw. einen Zustand ˜ψ (−) negativer Energie Any operator
can be classified according to his effect on positive and negative energy states. The
application of even operators [ Â ] on positive/negative energy states ψ (+) /ψ (−) lead to
positive/negative energy states ˜ψ (+) / ˜ψ
(−)
[Â]
ψ (+) = ˜ψ (+) ,
[Â]
ψ (−) = ˜ψ (−) . (5.320)
Ein ungerader Operator {Ã} bildet dagegen Zustände, die aus Eigenzuständen positiver
Energie aufgebaut sind, auf solche Zustände ab, die nur aus Eigenzuständen negativer
Energie bestehen und umgekehrt, also Odd operators, in contrast, transform positive
energy states in negative energy states, and vice versa
{Â}ψ(+) = ˜ψ (−) und {Â}ψ(−) = ˜ψ (+) (5.321)
Jeder Operator  kann in einen geraden und einen ungeraden Operator zerlegt werden.
Man findet Any operator  can be decomposed in an even and an odd operator. One
finds
[Â]
=
1
2 (Â + ẐÂẐ) und {Â} = 1 2
(Â − ẐÂẐ) (5.322)
woraus sich sofort  = [  ] + {Â} ergibt. Zum Beweis von 5.322 wenden wir [  ] auf
einen Zustand ψ (±) an und erhalten Which results immediately in  = [  ] + {Â}. In
order to prove 5.322 we apply [ Â ] on ψ (±) and obtain
[Â]
ψ (±) = 1 (Âψ
2
(±) + ẐÂẐψ(±)) = 1 (Âψ
2
(±) ± ẐÂψ±) (5.323)
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