Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
2 Teilchen im elektromagnetischen Feld
Particles in electromagnetic field
2.1 Klassische Vorbemerkungen
Remarks on classical theory
Lagrange–Funktion Lagrange function L = T − V
mit verallgemeinerten Potential V aus dem sich die generalisierten Kräfte Q i ableiten
lassen with generalized potential V which gives rise to generalized forces Q i
Q i = d ∂V
− ∂V . (2.1)
dt ∂ ˙q i ∂q i
Fordern jetzt, daß diese generalisierte Kraft der Lorentz–Kraft auf ein bewegtes Teilchen
im elektromagnetischen Feld entspricht Now require that the generalized force corresponds
to the Lorentz force on a particle moving in an electromagnetic field
⃗F = q ⃗ E + q c ⃗v × ⃗ B (2.2)
mit elektrischer Feldstärke ⃗ E(⃗r, t) und Magnetfeld ⃗ B(⃗r, t) where ⃗ E(⃗r, t) is the electric
field and ⃗ B(⃗r, t) the magnetic field
Übungsaufgabe: Zeigen, daß Exercise: Show that
V = − q c ⃗ A · ⃗v + qϕ (2.3)
mit with E ⃗ = −∇ϕ ⃗
1 ∂A
⃗ −
c ∂t
(2.4)
⃗B = ∇ ⃗ × A ⃗ (2.5)
genau Anlaß zu dieser Kraft gibt! exactly gives rise to the Lorentz force!
Damit erhalten wir die Lagrange–Funktion für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld.
Thereby we obtain the Lagrange function for a charged particle in an electromagnetic
field.
L = T − V = m 2 ⃗v2 + q c ⃗ A · ⃗v − qϕ (2.6)
Daraus erhalten wir die kanonisch konjugierten Impulse From this we obtain the canonical
momentum functions
p x = ∂L
∂ẋ = mẋ + q ⎫
c A x
p y = ∂L
∂ẏ = mẏ + q ⎪⎬
c A y ⃗p = m⃗v + q A
c ⃗ (2.7)
p z = ∂L
∂ż = mż + q c A z
⎪⎭
27