Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
in dieser Hinsicht gewissermassen als Mittelwertbildung verstanden werden.
Andererseits wäre es zu erwarten, daß der quantenmechanische Erwartungswert der Geschwindigkeit
eines Partikels wieder den Ehrenfest´schen Theoremen und damit der
klassisch-mechanischen bzw. relativistisch-mechanischen Abhängigkeit vom Impuls genügt.
Um diese Aussage zu püfen, benutzen wir am besten die Darstellung der Operatoren
im Heisenberg-Bild. Da die Kommutatoren im Schrödinger-Bild und im Heisenberg-Bild
die gleiche mathematische Struktur besitzen ([Â, ˆB] = Ĉ =⇒ [ÂH, ˆB H ] = ĈH) folgen aus
den im Schödinger-Bild gültigen Relationen [Ĥf , Ĥf ] = 0, [Ĥf , ˆ⃗p] = 0 und [H f , ˆ⃗x] = cˆ⃗α
sofort die entsprechenden Relationen im Heisenberg-Bild According to this equation there
are only the two eigenvalues ±c for the components of the velocity operator. Moreover,
these components don not commute anymore and we cannot obtain 5.374 as nonrelativistic
limit of 5.375. The relativistic particle follows a trembling motion with the
instantaneous velocity components ±c. That we can indeed measure any velocity ∣ ˙⃗x
∣ < c
can possibly be explained from the fact that any velocity measurement is nonlocal as it
corresponds to the limit υ = |∆x/∆t| ∆t→0
and involves small, but finite time intervals.
On the other hand, we expect to obtain the expectation value for the particle velocity
from the Ehrenfest theorem. In order to probe that we most conveniently use the Heisenberg
picture. It holds [Â, ˆB] = Ĉ =⇒ [ÂH, ˆB H ] = ĈH and therefore we immediately
write
[Ĥf , Ĥf ] = 0, [Ĥf , ˆ⃗p H ] = 0, [Ĥf , ˆ⃗x H ] = c i ˆ⃗α H (5.376)
wobei wir berücksichtigt haben, daß Ĥf im Schrödinger- und Heisenberg-Bild eine identische
Darstellung hat. Schließlich ist mit 5.232 Since Ĥf is identical in the Schrödinger
and Heisenberg pictures. From 5.232 one obtains
[Ĥf , ˆα µ ] = Ĥf ˆα µ + ˆα µ Ĥ f − 2ˆα µ Ĥ f (5.377)
Für die ersten beiden Terme bekommen wir unter Beachtung der Antikommutatorbeziehungen
für α- und β-Matrizen Using the anticommutator relations for α and β matrixes
we find
Damit Hence
c(α ν α µ + α µ α ν )ˆp ν + mc 2 (βα µ + α µ β) = 2cÎδ µν ˆp ν = 2cÎ ˆp µ (5.378)
[Ĥf , ˆ⃗α] = 2(cÎ ˆ⃗p − ˆ⃗αĤf ) also thus [Ĥf , ˆ⃗α H ] = 2(cÎ ˆ⃗p H − ˆ⃗α H Ĥ f ) (5.379)
Die Kommutationsrelationen 5.376 liefern uns außerdem From 5.376 we see furthermore
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