Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Vorhin Furthermore
⇒
A ⇒ B
=
A i·B k g ik
= A i B i (5.145)
⇒A i [ B i − B k g ik
]
= 0 (5.146)
gilt für beliebige Vektoren, d.h. können mit der Metrik zwischen ko– und kontravarianten
Darstellungen transformieren. holds for arbitrary vectors. Metric may thus be used to
transform between the covariant and contravarianat representations.
Analog folgt aus Similarly it follows from
⇒
A ⇒ B
=
B i = g ik B k (5.147)
= A k B k (5.148)
A i·B k g
[
ik A k − A i g ik] B k = 0 (5.149)
⇒A k = g ki A i . (5.150)
Die Metrik kann also zum Verschieben der Indizes verwendet werden. The indices are
thus raised and lowered using the metric.
Weiter folgt aus Furthermore we see from
das that
A k = g ki A i = g ki g im A m (5.151)
g ki g im = δ k m. (5.152)
Jetzt wieder zurück zur Raum–Zeit, dort sind Ereignisse durch Vektoren (ct, ⃗x) charakterisiert,
infinitesimal benachbarte Ereignisse durch die Koordinatendifferenzen In the
four-dimensional spacetime events are described by vectors (ct, ⃗x). The measure of separation
between infinitesimally close events is
Offensichtlich gilt dann Obviously it holds
(c dt, d⃗x) = (dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3 ) (5.153)
d ⇒ x d ⇒ x
=
= (c dt, dx, dy, dz) (5.154)
= d ⇒ x . (5.155)
= g ij dx i dx j (5.156)
ds 2
←−−Abstand im Minkowski–Raum
separation in spacetime
c 2 dt 2 −d⃗x 2
=
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