Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
6.4 Lippmann–Schwinger–Gleichung
Lippmann–Schwinger equation
betrachten ein Teilchen, das an einem Potential V (⃗r) gestreut wird consider particle
which gets scattered by a potential V (⃗r)
V(r)
Starten vom Propagator des Teilchens in 3D (vgl. Kapitel 6.3) Start from this particle’s
propagator calculated in three dimensions (cf. chapter 6.3)
∫
K(⃗r E , t E ; ⃗r A , t A ) = N D⃗r e i ∫ tE
tA dt L(⃗r, ˙⃗r)
(6.78)
∫
= N D⃗r e i ∫ tE
tA dt (T −V )
(6.79)
∫
= N D⃗r e i ∫ tE
{
tA T dt
Î − i ∫ tE
}
V (⃗r, t) dt + . . . (6.80)
t A
= K 0 + K 1 + K 2 + . . . (6.81)
berechnen zunächst K 0 Calculate first K 0
∫
K 0 = N D⃗r e i ∫ tE
tA T dt
(6.82)
( m
) 3N
2
= lim
N→∞ 2πiτ
( m
) 3N
2
= lim
N→∞ 2πiτ
Unter Ausnutzung von Exploit that
∫ ∞
−∞
∫ N−1 ∏
d 3 ⃗r j e i ∑ ( N−1
j=0 τ m ⃗rj+1
)
−⃗r 2 j
2 τ
j=1
(6.83)
∫ N−1 ∏
d 3 ⃗r j e im
2τ ((⃗r E −⃗r N−1 ) 2 +(⃗r N−1 −⃗r N−2 ) 2 +...+(⃗r 1 −⃗r A ) 2 )
j=1
(6.84)
[
e iλ[(⃗ b−⃗r n) 2 +(⃗r n−⃗r n−1 ) 2 +...+(⃗r 1 −⃗a) 2 ] d 3 ⃗r 1 . . . d 3 i n π n ] 3
⃗r n =
(n + 1)λ n
2
e
iλ
ergibt sich mit λ = m/(2τ) für den freien Propagator
and obtain by substituting λ = m/(2τ) for the free particle propagator
( m
K 0 = lim
N→∞ 2πiτ
(
= lim
N→∞
) 3N
2
m
2πiτN
) 3
2
( 2πiτ
m
e i m
2τ
) 3(N−1)
2
1
·
N 3/2 e i
m 1
2τ
n+1 (⃗ b−⃗a) 2 (6.85)
N (⃗r E−⃗r A ) 2 (6.86)
1
N (⃗r E−⃗r A ) 2 (6.87)
139