Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
damit thus
ˆP 2 ⃗x ψ(1, 2) = a2 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) (4.24)
d.h. EW a = ±1, d.h. a ∈ R hence, for the eigenvalues a = ±1, i.e. a ∈ R
⇒ ˆP ⃗x hermitescher Operator hermitian operator
weiter gilt furthermore [ ˆP ⃗x , Ĥ] = 0, Beweis: proof:
ˆP ⃗x Ĥψ(1, 2) = ˆP⃗x (E 1 + E 2 )ψ(1, 2) = (E 1 + E 2 ) ˆP ⃗x ψ(1, 2)
} {{ }
ψ(2,1)
} {{ }
(4.25)
(Erinnerung QMI reminder QMI)
Ĥ ˆP ⃗x ψ(1, 2) = Ĥψ(2, 1) (4.26)
d
dt 〈ψ|Â|ψ〉 = 〈ψ| i [Ĥ, Â]|ψ〉 + 〈ψ|∂Â|ψ〉 (4.27)
∂t
wegen because of [ ˆP ⃗x , Ĥ] = 0 und and ∂ ˆP ⃗x
∂t
= 0 sind die EW it holds for the eigenvalues
a = ±1 Erhaltungsgrößen des Systems, d.h. that are preserved upon time evolution, i.e.,
Der Symmetriecharakter eines Systems unter Vertauschung der Koordinaten von
zwei Teilchen ist eine Erhaltungsgröße. The symmetry properties of a physical system
upon interchange of two particle positions is conserved.
Allgemein gilt: Generally it holds:
Ein Vielteilchensystem ist in jedem Fall entweder symmetrisch oder antisymmetrisch
bei Teilchenaustausch und behält diese Eigenschaft bei. A many-body systems
can be classified as either symmetric or antisymmetric upon particle interchange and
will not change its symmetry properties.
Für For x 1 = x 2 gilt it holds
}
|ψ S | 2 = 2|ψ 1 (x)| 2 |ψ 2 (x)| 2
|ψ A | 2 Beweis: Übung proof: exercise (4.28)
= 0
D.h. bei einem antisymmetrischen System keine Wahrscheinlichkeit identische Teilchen
bei der gleichen Koordinate zu finden. Two identical particles of an antisymmetric system
cannot occupy the same position (more generally: single-particle state)
Bei symmetrischen System ist die Wahrscheinlichkeit gleicher Koordinaten doppelt so
groß wie bei unterscheidbaren Teilchen! The probability to find two partiales of a symmetric
system at the same position (more generally: in the same single-particle state) is
twice as large as for not-identical, independent particles!
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