Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
ˆχ vertauscht mit allen ˆΓ A , d.h. auch mit ˆΓ C ˆχ commutes with all ˆΓ A , in particular
with ˆΓ C
ˆχˆΓ C = ˆΓ C χ (5.94)
ˆχ = ˆΓ −1 C ˆχ ˆΓ
C
setzten jetzt ˆχ ein use expression for ˆχ
(ˆΓ 2 C =Î)
−→
= ˆΓ C ˆχ ˆΓ C (5.95)
x B ˆΓB + ∑ x AˆΓA = x B ˆΓC ˆΓB ˆΓC + ∑ } {{ }
A≠B A≠B
−ˆΓ B
Produkt product ˆΓ C ˆΓA ˆΓC
ist wieder eine Basismatrix
belongs to the base matrices
x A ˆΓC ˆΓAˆΓC
} {{ }
Γ D
−−→
(5.96)
Multiplikation mit ˆΓ B , Spurbildung und Ausnutzung, daß ˆΓ 2 B
by ˆΓ B , calculate trace, and exploit that ˆΓ 2 B = Î
= Î liefert Multiply
x B = −x B = 0 (5.97)
D.h. alle Koeffizienten x B mit B ≠ 1 verschwinden. ˆχ ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix.
Obviously all coefficients x B with B ≠ 1 vanish. ˆχ is proportional to
the identity matrix.
6) γ i und γ i ′ seien zwei Darstellungen der Dirac–Algebra, ˆΓ A und ˆΓ ′ A sei die jeweilige
Basis von 4x4 Matrizen. Dann gilt Suppose γ i and γ i ′ are two representations of the
Dirac algebra, ˆΓ A and ˆΓ ′ A are the respective basis matrices. Then it holds
wobei where
Ŝ =
ˆΓ ′ AŜ = Ŝ ˆΓ A (5.98)
16∑
B=1
mit einer beliebigen 4x4–Matrix F. for any 4x4 matrix F.
ˆΓ ′ B ˆF ˆΓ B (5.99)
Zum Beweis betrachten wir die Matrix This is proven by considering the matrix
ˆΓ ′ AŜ ˆΓ A =
16∑
B=1
ˆΓ ′ A ˆΓ ′ B ˆF ˆΓ B ˆΓA (5.100)
dabei gilt (nachzurechnen) thereby the actual calculation shows
ˆΓ B ˆΓA = ɛ C ˆΓC mit ɛ C ∈ {±1, ±i} (5.101)
−→
(γ i γ j +γ j γ i =2g ijÎ)
79