Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Erinnerung Elektrodynamik Reminder Electrodynamics
können Potentiale umeichen may gauge transform the potentials in such a way
⃗A → A ⃗′ = A ⃗ + ∇f ⃗ (2.13)
ϕ → ϕ ′ = ϕ − 1 ∂
c ∂t f (2.14)
ohne daß sich die Felder ändern, insbesondere können wir die Coulomb–Eichung
voraussetzen, d.h. that the fields do not change. In particular we may assume the
so-called Coulomb gauge, i.e.,
⃗∇ · ⃗A = 0. (2.15)
In Coulomb–Eichung ergibt sich für die Schrödingergleichung Within Coulomb gauge the
SE reads
{
i ˙ψ = − ˆ⃗p
}
2
2m + eϕ − 1 e
Aˆ⃗p
2m c ⃗ + 1 ( e
A
2m c ⃗ ) 2
ψ. (2.16)
Betrachten speziell konstantes Magnetfeld, dann Vektorpotential gegeben durch Consider
now the special case of a constant magnetic field, the corresponding magnetic vector
potential is given as
⃗A = − 1 [
⃗r × B
2
⃗ ]
(2.17)
Beweis: Proof:
( ⃗ ∇ × ⃗ A) i = ɛ ijk
∂
∂x j
(
− 1 2 ɛ klmx l B m
)
⎛
= ɛ ijk ɛ klm ⎜
⎝ −1 2
∂x l
∂x j
}{{}
δ lj
⎞
B m ⎟
⎠
(2.18)
(2.19)
= − 1 2 ɛ ijkɛ kjm
} {{ }
B m (2.20)
−2δ im
= B i (2.21)
✷
Betrachten für dieses ⃗ A jetzt 3. und 4. Term der Schrödingergleichung Now consider the
3th and 4th term of the SE for this particular choice of ⃗ A
29