Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
mit dem hermetischen und evtl. zeitabhängigen Operator Ŝ. Diese Transformation ändert
natürlich nicht die physikalische Bedeutung des quantenmechanischen Zustands. Setzen
wir diese Transformation in die Dirac-Gleichung 5.329 ein, dann gelangen wir zu using
the hermitian and possibly time-dependent operator Ŝ. This transformation does not
modify the physics of the state. Applying the transformation to the state obeying the
Dirac equation 5.329 results in
und damit and thus
i ∂ ∂t (e−iŜψ ′ ) = He −iŜψ ′ (5.334)
i ∂ ∂t ψ′ = [ e iŜ( He −iŜ − i ∂e−iŜ )]
ψ ′ ≡
∂t
Ĥ′ ψ ′ . (5.335)
Um das oben formulierte Ziel zu erreichen, müssen wir einen Operator Ŝ finden, der
die transformierte Dirac-Gleichung so gestaltet, daß Ĥ′ keine mischenden Terme mehr
enthält. Dann sind die beiden Spinoren des Bispinors ψ ′ entkoppelt und wir können aus
der transformierten Dirac-Gleichung sofort die gesuchte Pauli-Gleichung ablesen. In other
words, what we need to do is to find such a Ŝ that Ĥ′ does not contain any mixing term
anymore. Then the two spinors of the bispinor ψ ′ are decoupled and we have reached the
Pauli equation we are looking for.
Foldy-Wouthuysen-Transformation für freie Teilchen Foldy-Wouthuysen
Transformation for free particles
Um ein gewisses Gefühl für die zu erwartenden Ergebnisse zu erhalten, wollen wir im
Vorfeld die oben besprochene Transformation auf die Dirac-Gleichung eines freien Teilchens
anwenden. In diesem Falle ist sogar eine exakte Elimination aller mischenden Terme
möglich. Für Ŝ wählen wir den Ansatz In order to get some feeling for what needs to be
done we start by transforming the Dirac equation for free particles. In this case even an
exact solution is possible. We start be using the ansatz
⃗γ ˆ⃗p
Ŝ = −i ∣
∣ˆ⃗p ∣
ˆθ = −iβ ⃗αˆ⃗p
|⃗p| ˆθ (5.336)
mit dem noch unbekannten Operator ˆθ. Wir nehmen hier die Einfachheit halber an, daß
ˆθ sowohl mit den Matrizen α µ und β als auch mit dem Impulsoperator ˆ⃗p kommutiert
und außerdem auch noch zeitunabhängig ist. Um die explizite Struktur von exp{iŜ} zu
bekommen, entwickeln wir den Exponentialoperator in eine Potenzreihe nach ˆθ. Wegen
der vorausgesetzten Vertauschbarkeit erhalten wir where the ˆθ operator is yet unknown.
We assume that ˆθ is time-independent and commutes with the α µ and β matrixes as
well as with ˆ⃗p. In order to determine exp{iŜ} we expand it into a power series using the
commutator relations required above
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