Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Brauchen R + für die weitere Rechnung. Need to know R + in the following.
Für infinitesimale Lorentz–Trafo ergab sich For the infinitesimal Lorentz transformation
we have just obtained
R(Λ) = Î + 1 8 [γ i, γ j ] dω ij . (5.203)
Jetzt N Rotationen hintereinander ausführen. Consider now N successive rotations
(
R = Î + 1 ) (
8 [γ i, γ j ] dω ij
(1)
. . . Î + 1 )
8 [γ i, γ j ] dω ij
(N)
(5.204)
(
⇒ R + = Î + 1 ) (
8 [γ i, γ j ] + dω ij
(N)
. . . Î + 1 )
8 [γ i, γ j ] + dω ij
(1)
(5.205)
sowie as well as
R −1 =
(
Î + 1 −1 (
8 [γ i, γ j ] dω(N)) ij . . . Î + 1 −1
8 [γ i, γ j ] dω(1)) ij
(5.206)
multiplizieren von links und rechts mit γ 0 und nutzen aus, daß (γ 0 ) 2 = Î pre-multiply
(left multiply) and post-multiply (right multiply) by γ 0
(
γ 0 R −1 γ 0 = γ 0 Î + 1 ) −1 (
8 [γ i, γ j ] dω ij
(N)
γ 0 . . . γ 0
)
=
(
Î − 1 8 γ0 [γ i , γ j ] γ 0 dω ij
(N)
Î + 1 −1
8 [γ i, γ j ] dω(1)) ij γ 0 (5.207)
)
(5.208)
(
. . . Î − 1 8 γ 0 [γ i , γ j ] γ 0 dω ij
(1)
(der letzte Schritt folgt aus der infinitesimalen Kleinheit der Elemente der Lorentztransformation
in the last step the infinitesimal smallness of the Lorentz transformation was
exploited)
Für die γ–Matrizen gilt For the γ matrices it holds
[γ i , γ j ] + = −γ 0 [γ i , γ j ] γ 0 (5.209)
und aus dem Vgl. der Gleichungen für R + und γ 0 R −1 γ 0 folgt and from the comparison
of the equations for R + and γ 0 R −1 γ 0 it follows that
γ 0 R −1 γ 0 = R + . (5.210)
Damit Thus
j k′ ( ⇒ x ′ ) = c ψ + ( ⇒ x )γ 0 R −1 γ 0 γ 0 γ k′ Rψ( ⇒ x ) (5.211)
}{{}
Î
= c ψ + ( ⇒ x )γ 0 R −1 γ k′ R ψ( ⇒ x ) (5.212)
} {{ }
γ k Λ k′
k
(vgl. cf. Eq. 5.185)
= c ψ + ( ⇒ x )γ 0 γ k Λ k′
k ψ( ⇒ x ) (5.213)
= Λ k′
k jk ( ⇒ x ) (5.214)
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