Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Warum interessant? Angenommen wir kennen die Eigenfunktion unseres Systems bei
(r ′ , t ′ ), dann erhalten wir die Lösung bei (r, t) aus The time-dependent Green’s function
has one very interesting property, which gives rise to the term propagator (see previous
chapter!) Suppose we have a problem in which we know the eigenfunction at some particular
space-time point (r, t), then we can obtain the wave function at a later time t from
the integral
∫
ψ(r, t) = iG R (r, r ′ , t − t ′ )ψ(r ′ , t ′ ) dr ′ (7.59)
Beweis Proof: G R einsetzen insert G R
∫ ∑
ψ(r, t) =
n
ψ n (r)ψn(r ∗ ′ En−iδ
−i (t−t
)e ′) ψ(r ′ , t ′ ) dr ′ (7.60)
entwickeln ψ(r ′ , t ′ ) nach stationären Lösungen expanding ψ(r ′ , t ′ ) in terms of the
eigenfunctions gives
ψ(r ′ , t ′ ) = ∑ α m ψ m (r ′ Emt′
−i
)e (7.61)
m
einsetzen we find
∫ ∑
ψ(r, t) = ψ n (r)ψn(r ∗ ′ En−iδ
−i (t−t
)e ′) α m ψ m (r ′ Emt′
−i
)e dr ′ (7.62)
n,m
= ∑ [ ∫ ]
Ent
−i
α m ψ n (r)e dr ′ ψn(r ∗ ′ )ψ m (r ′ ) dr ′ × (7.63)
n,m
} {{ }
δ nm
× e i (En−Em)t′
} {{ }
e −δ(t−t′ )
} {{ }
(7.64)
✷
←−
1
n=m
←−
1
δ→0
Bem. Note: • Die Eigenschaft die Zeitentwicklung eines Zustands aus der zeitabhängigen
Greenfunktion zu erhalten, erinnert an die Propagatoren aus Kapitel 6.
Tatsächlich ist die Greenfunktion der Schrödingergleichung des freien Teilchens
der Propagator Obviously in a very real sense the Green’s function tells
us how the wave function develops in time or how the particle described by
the wave function propagates. Thus the Green’s function corresponds to the
propagator introduced in chapter 6.
K 0 (⃗r E , t E ; ⃗r, t)! (7.65)
• Greenfunktion hat Pole bei den EW des Systems The Green’s function has
poles at the eigenvalues of the system
G(r, r ′ ; E) = ∑ n
ψ n (r)ψ ∗ n(r ′ )
E − E n
(7.66)
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