Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Damit in die SG in gestrichener Eichung Consider now SE in prime-denoted gauge
{
i ∂ (
∂t e ie
c f 1
ψ = ∇
} {{ } 2m i ⃗ − e ) }
2
A
c ⃗′ + eϕ ′ e ie
c f ψ (2.51)
ψ ′
↓
− e ˙
cfe ie
c f ψ + ie ie
c f ∂ψ
∂t
(2.50)
= 1 2 e ie
c f (
i ⃗ ∇ − e c ⃗ A) 2
ψ + e
(
ϕ − 1 )
f
c ˙ e ie
c f ψ (2.52)
Erster Term links und letzter Term rechts heben sich auf. Die nur noch als Vorfaktor
auftretende Exponentialfunktion kann eliminiert werden. Es verbleibt First lhs term and
last rhs term cancel. The prefactor (exponential function) may be eliminated. It remains
i ˙ψ(⃗r, t) = 1 (
∇
2m i ⃗ − e ) 2
A
c ⃗ ψ(⃗r, t) + eϕψ(⃗r, t), (2.53)
d.h. die SG in ungestrichener Eichung i.e., the SE in unprimed gauge
✷
Die Eichtransformation bedingt also einen zusätzlichen Orts– und zeitabhängigen Phasenfaktor
der Wellenfunktion. Die Umeichung hat jedoch keine beobachtbaren physikalischen
Konsequenzen, da sich |ψ| 2 dabei nicht ändert. The gauge transformation introduces
an additional space and time-dependent phase factor into the wavefunction. However,
since the observable translates to the probability density, |ψ| 2 this phase dependence
seems invisible. One physical manifestation of the gauge invariance of the wavefunction
is found in the Aharonov-Bohm effect, see below.
2.5 Aharonov–Bohm–Effekt
Aharonov–Bohm effect
Betrachten die Wellenfunktion eines Elektrons in Gegenwart eines zeitunabhängigen Magnetfeldes
⃗ B(⃗r). Dieses möge in einem Raumgebiet verschwinden Consider an electron
travelling along a path within a region in which the magnetic field, ⃗ B(⃗r) is identically
zero.
⃗B = ⃗ ∇ × ⃗ A = 0 (2.54)
wie es z.B. außerhalb einer unendlich langen Spule der Fall ist: This is the case, e.g.,
outside an ideal solenoid (i.e. infinitely long and with a perfectly uniform current distribution):
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