Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Ĥ ′′′ = β { mc 2 + (ˆ⃗p − e ⃗ cA) 2
− ˆ⃗p 4 }
+
2m 8m 3 c 2 Î { eφ −
e2
8m 2 c ⃗ 2 ∇ · ⃗E } (5.366)
{ ie
−ˆ⃗ Σ
4m 2 c ⃗ 2 ∇ × E ⃗ +
e
2m 2 c ⃗ 2 E × (ˆ⃗p e − A
c ⃗ )} −
e mc β ˆ⃗ ΣB
⃗
Dabei ist ˆ⃗ Σ = (ˆΣ1 , ˆΣ 2 , ˆΣ 3 ) der auf vier Dimensionen verallgemeinerte Spinoperator mit
Here ˆ⃗ Σ = (ˆΣ1 , ˆΣ 2 , ˆΣ 3 ) is four-dimensional generalization of the spin operator with
ˆΣ µ = ) (ˆσµ 0
. (5.367)
2 0 ˆσ µ
Unter Auswertung dieses Spinoperators zerfällt die zugehörige quantenmechanische Evolutionsgleichung
für den Bispinor ψ jetzt in zwei separate Gleichungen für den oberen
und unteren Spinor. Für den oberen Spinor erhalten wir eine Gleichung vom Typ Using
the spin operator above the equation for the bispinor ψ decouples into two separate
equations for the upper and the lower spinor. For the upper spinor we obtain
mit dem Hamilton-Operator with the Hamiltonian
i ∂ ∂tχ = Ĥχ (5.368)
Ĥ = Î{ mc 2 + (ˆ⃗p − e ⃗ cA) 2
− ˆ⃗p 4
2m 8m 3 c 2 + eφ −
−ˆσ { ie 2
8m 2 c ⃗ 2 ∇ × E ⃗ +
e E ⃗
4m 2 c 2 × (ˆ⃗p e − A
c ⃗ ) + e B
2mc ⃗ }
e2
8m 2 c 2 ⃗ ∇ · ⃗E } (5.369)
Es handelt sich hierbei wieder um die Pauli-Gleichung, die aber im Gegensatz zu der
Version 3.98 bzw. 5.314 noch einige relativistische Korrekturen erhält. Again, we arrived
at the Pauli equation! In contrast to the versions 3.98 and 5.314, respectively, however,
some additional relativistic corrections show up.
Physikalische Bedeutung Interpretation
Wir wollen jetzt kurz die Bedeutung der einzelnen Terme dieser Wellengleichung diskutieren.
Der erste Klammerausdruck ist bezgl. seiner Wirkung auf einen Spinor diagonal.
Vernachlässigt man die Spineigenschaften des Teilchens und damit den zweiten, an die
Pauli´schen Spinmatrizen koppelnden Term, dann könnte man den Hamilton-Operator
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