Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
integrieren in komplexer Ebene integrate in complex energy plane
damit thus
∫
=
∫−∞
+∞
∫
−∞
+∞
+
∫
=
−→
Residuum Residue
2πi ∑ n
} {{ }
= 0 für for τ > 0 weil
because
e − iE τ → 0
(E − E n + iδ)e −i E τ
= 2πi lim
E→E n−iδ E − E n + iδ
= 2πie
En−iδ
−i
τ · Θ(τ)
Res(n) (7.50)
(7.51)
(7.52)
−→
für τ < 0 liegt das Integral in der oberen
Halbebene, dort gibt es keine Polstelle
und entsprechend verschwindet das Integral
for τ < 0 the integral is performed in
the upper plane, there are no poles, and
the integral thus vanishes
⇒ definieren 2 neue Greenfunktionen according to how we place the poles in the complex
energy plane, we may define two Green’s functions
G R
←−−−−
(r, r ′ ; E) = ∑ n
F T
ψ n (r)ψ n (r ′ )
E − E n + iδ
(7.53)
G R (r, r ′ ; t − t ′ ) = −i ∑ ψ n (r)ψn(r ∗ ′ En−iδ
−i (t−t
)e ′ )
für for t > t ′ (7.54)
= 0 für for t < t ′ (7.55)
retardierte Greenfunktion retarded Green’s function
G A
←−−−−
(r, r ′ ; E) = ∑ n
F T
ψ n (r)ψ ∗ n(r ′ )
E − E n − iδ
(7.56)
G A (r, r ′ ; t − t ′ ) = i ∑ ψ n (r)ψn(r ∗ ′ En+iδ
−i (t−t
)e ′ )
für for t < t ′ (7.57)
= 0 für for t > t ′ (7.58)
avancierte Greenfunktion advanced Green’s function
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