Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
5.8 Foldy-Wouthuysen-Transformation
Foldy-Wouthuysen Transformation
Zustände positiver und negativer Energie
States with positive and negative energy
Wir haben gesehen, daß jeder quantenmechanische Zustand eines relativistischen Teilchens
nach ebenen Wellen entwickelt werden kann, wobei ebene Wellen sowohl positiver
als auch negativer Energie berücksichtigt werden müssen. Für die weiteren Untersuchungen,
z.B. bei der Durchführung der Foldy-Wouthuysen-Transformation ist es zweckmässig,
über einen Operator Ẑ zu verfügen, der das Vorzeichen der Energieeigenwerte ebener
Wellen bestimmt. So soll bezgl. der aus den Eigenspinoren gebildeten ebenen Wellen
gelten We have seen that the plane-wave expansion of the wave function of relativistic
particles requires plane waves with positive and negative energy. In the following we will
need an operator Ẑ that determines the sign of the energy eigenvalues of waves. It shall
hold
Ẑψ (λ,µ) e i (⃗x·⃗p−λE(p)t) = λψ (λ,µ) e i (⃗x·⃗p−λE(p)t) (5.315)
Mit Hilfe des Hamilton-Operators des freien Teilchens können wir schreiben Using the
free-particle Hamiltonian we write
Ẑ =
Ĥf
|Ĥf| =
c⃗αˆ⃗p+mc 2 β
√m 2 c 4 +c 2 ˆ⃗p 2 (5.316)
Der Vorzeichenoperator Ẑ ist wegen Ẑ = Ẑ+ hermetisch und außerdem wegen Ẑ+ = Ẑ−1
auch unitär. Wenden wir Ẑ auf eine Eigenlösung ψ E der freien Dirac-Gleichung zur durch
E = λE(p) definierten Energie an, dann erhalten wir wegen Ĥf ψ E = Eψ E Ẑ is hermitian
because of Ẑ = Ẑ+ and additionally unitary, because it holds Ẑ+ = Ẑ−1 . If one applies
Ẑ on an eigenstate ψ E of the free-particle Dirac equation with E = λE(p) one obtains
because of Ĥf ψ E = Eψ E
Ẑψ E =
Ĥf
|Ĥf| ψ E = E
|E| ψ E = sgn Eψ E = λψ E (5.317)
Mit Hilfe des Operators Ẑ können wir Projektionsoperatoren ˆP + und ˆP − konstruieren,
die aus einem beliebigen Zustand alle ebenen Wellen positiver bzw. negativer Energie
herausfiltern. Prinzipiell kann man jeden Bispinor ψ zerlegen in einen Anteil ψ (+) , der aus
einer Überlagerung aller ebenen Wellen mit positiver Energie besteht und einen Betrag
ψ (−) , der aus den Basiszuständen negativer Energie aufgebaut ist. Dann gilt natürlich
Ẑψ (+) = ψ (+) und Ẑψ(−) = −ψ (−) und die gesuchten Projektionsoperatoren lauten
Based on Ẑ projection operators ˆP + and ˆP − can be constructed that filter all plane
waves of positive and negative energy contained in an arbitrary state. Every bispinor ψ
can be divided in contribution ψ (+) that only contains plane waves of positive energy
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