Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
auch eine gewöhnliche Schrödinger-Gleichung mit einer skalaren Wellenfunktion zuordnen.
Die ersten drei Summanden dieses Diagonaltermes sind als Entwicklung der Potenzen
von (mc 2 ) −1 zu verstehen. Die hierdurch präsentierten Oberservablen haben ein klassisches
Analogon, so daß ihnen entsprechend den Jordan´schen Regeln quantenmechanische
Operatoren zugeordnet werden können. Der Ruhemasseterm mc 2 kann durch einen
geeigneten Phasenfaktor der Wellenfunktion – nämlich durch ψ → ψ exp{−imc 2 t/} –
eliminiert werden, ohne daß der physikalische Inhalt der Wellengleichung oder des quantenmechanischen
Zustands geändert wird. Zusammen mit dem elektrostatischen Potential
eφ entspricht der zweite Summand des Diagonalterms der Quantisierung der klassischen
Hamilton-Funktion eines geladenen Partikels. Wir haben z.B. den normalen Zeeman-
Effekt, der sich aus der diesen Termen entsprechenden Schrödinger-Gleichung ableiten
läßt, im Abschnitt 2 der Vorlesung besprochen. Beim dritten und fünften Summanden des
Diagonaltermes handelt es sich um relativistische Korrekturen, wobei der letztere auch als
Darwin-Term bezeichnet wird. Dieser Term hängt mit der sogenannten Zitterbewegung
des quantenmechanischen Teilchens zusammen, die ausführlicher im nächsten Abschnitt
besprochen wird. Der zweite Klammerausdruck im Hamilton-Operator berücksichtigt die
Spineigenschaften des Partikels. Dabei entspricht der letzte Summand der magnetischen
Dipolwechselwirkung, alle anderen Beiträge lassen sich zur Spin-Bahn-Wechselwirkung
zusammenfassen. Beide Beiträge ergeben sich direkt aus der Dirac-Gleichung! Die Struktur
der Spin-Bahn-Wechselwirkung hängt natürlich von dem jeweiligen elektromagnetischen
Feld ab. Für die Bewegung in einem zentralsymmetrischen elektrostatischen Feld
haben wir eine besonders einfache Situation vorliegen. Mit ⃗ A = 0 und φ = φ(r) bekommen
wir The first term in curled brackets above is diagonal, i.e., can be assigned to a
Schrödinger equation that acts on a scalar wave function. Thereby the first term can
be eliminated by a suitable phase factor (ψ → ψ exp{−imc 2 t/}), the second term is
derived from the classical Hamilton function of a charged particle and gives rise, e.g.
to the nnormalSZeeman effect as discussed in chapter 2. The third and fith term are
relativistic corrections, thereby the latter is the so-called Darwin term that is related to
the zitterbewegung which we will discuss in the next section. The second term in curled
brackets takes care of the spin properties. Thereby the last term describes the interaction
with the magnetic field, whereas the other terms describe the spin-orbit interaction. It
depends on the specific electromagnetic field. If we assume the case of a field that is
symmetrical around its centre with ⃗ A = 0 and φ = φ(r) we obtain
⃗E = −∇φ ⃗ = ∂φ ⃗r
∂r r und ∇ ⃗ × E ⃗ = 0 (5.370)
und somit vereinfacht sich die Spin-Bahn-Wechselwirkung and the spin-orbit Interaction
zu simplifies to
Ĥ so = ˆσ { ie 2
∇ ⃗ × E ⃗ +
e E ⃗ × (ˆ⃗p 8m 2 c 2 4m 2 c −
e ⃗ 2 cA )} (5.371)
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