Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
7.3 Zeitabhängige Greenfunktionen
Time-Dependent Green’s Functions
zeitabhängige Schrödingergleichung One must consider, in many cases, the timedependent
Schrödinger equation. This is written as
{i ∂ ∂t − Ĥ(r) }
ψ(r, t) = 0 (7.43)
hat die formale Lösung and has the formal solution
Et
−i
ψ(r, t) = ψ(r)e (7.44)
Die zugehörige Greenfunktion ist definiert durch The defining equation for this Green’s
function is {i ∂ ∂t − Ĥ(r) }
G(r, r ′ ; t, t ′ ) = δ(r − r ′ ) δ(t − t ′ ) (7.45)
falls H = Ĥ(r), d.h. zeitunabhängig, dann hängt G nur von t − t′ = τ ab. Kann als
Fouriertransformierte dargestellt werden Notice, that in this case, where H is not a
function of time, the Green’s function will only depend upon t − t ′ = τ. The Fourier
transform of the energy-dependent Green’s function defined below is the function we
require.
G(r, r ′ ; τ) = 1 ∫
2π
= 1
2π
∑
n
G(r, r ′ Eτ
−i
; E)e dE (7.46)
∫
ψ n (r)ψn(r ∗ ′ )
e
−i Eτ
dE (7.47)
E − E n
Auswertung des Integrals Here we have substituted the eigenfunction expansion form of
the Green’s function. As it stands (for real energies) this integral is undefined.
1
2π
∫ ∞
−∞
e − iE τ
E − E n
dE (7.48)
wegen Singularität nicht möglich, verlegen Polstelle in komplexe Ebene. If we evaluate
the integral by a contour integral, then we have a number of possibilities, according to
how we move the poles given by the zeros of the denominator.
∫
1
2π
e − iE τ
E − E n + iδ
E=E n - iδ
E
(7.49)
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