Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Free particle solutions of the Dirac equation
bringen zunächst Dirac–Gleichung start by transforming the DE
(i γ k ∂ k − mc)ψ = 0 (5.229)
in eine der Schrödinger–Gleichung verwandte Form. Multiplikation mit c γ 0 = cβ ergibt
in a SE-like form. Multiplication by c γ 0 = cβ results in
mit where
Ansatz ansatz
(
i c γ 0 γ 0 ∂
}{{} c ∂t +
Î
3∑
ic γ 0 γ µ
µ=1
=
γ 0 α µ
∂
)
∂x µ − mc2 β ψ = 0 (5.230)
⇒i ∂ ψ = Ĥψ (5.231)
∂t
Ĥ = −
3∑ ∂
ic α µ
∂x µ + mc2 β = c⃗αˆ⃗p + mc 2 β (5.232)
µ=1
ψ( ⇒ Et
−i
x ) = ψ(⃗x)e (5.233)
führt auf Eigenwertgleichung leads to the eigenvalue equation
Ĥψ = Eψ (5.234)
Ĥ hängt nicht vom Ort ⃗x ab, daher vertauschen Ĥ und ˆ⃗p und haben die gleichen Eigenfunktionen.
Eigenfunktionen des Impulsoperators sind bekanntlich ebene Wellen, daher
Ĥ has no spatial dependence, therefore Ĥ and ˆ⃗p commute and have a common set of
eigenvectors. Plane waves are eigenfunctions of the momentum operator, hence
ψ(⃗x, t) = ψ(⃗p)e i (⃗p·⃗x−Et) (5.235)
Für die Amplitude ψ(⃗p) setzen wir einen Bispinor an Assume a bispinor to describe the
amplitude ψ(⃗p)
( )
χ0
ψ(p) =
(5.236)
ϕ 0
(Begründung dafür wird gleich offensichtlich for reasons that will become obvious soon)
und gehen damit in and enter
i ∂ ψ = Hψ (5.237)
∂t
unter Beachtung von observing that
α µ =
( 0
) ˆσµ
ˆσ µ 0
und β =
(Î ) 0
0 −Î
(5.238)
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