Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Ausdrücke von der Ordnung m −1 auf, die wir zusammen in einem neuen geraden Operator
E ′ vereinigen können. Wir erhalten somit einen transformierten Hamilton-Operator
Ĥ ′ , der wieder die gleiche Struktur wie der ursprüngliche Hamilton-Operator Ĥ aufweist
The Hamiltonian 5.353 contains terms of order m and order m 0 . After the transformation
using the Ŝ determined above, not all odd terms in Ĥ′ are eliminated, but the remaining
odd terms are of order m −1 . In addition new even terms of the order m −1 appear, which
can be collected in a new even operator E ′ . Thus we obtain a transformed Hamiltonian
Ĥ ′ that can be written in the same structure as the original Ĥ operator
Ĥ ′ ≈ mc 2 β + E ′ + O ′ . (5.364)
Im Unterschied zu O in Ĥ ist jetzt aber O′ in Ĥ′ von der Ordnung m −1 . Die konkrete
Struktur von O spielte bei diesem Vorgehen überhaupt keine Rolle. Wir können deshalb
mit O ′ entsprechend 5.363 einen neuen Operator Ŝ bilden, der jetzt von der Ordnung
m −2 ist und mit diesem aus Ĥ′ einen neuen Hamilton-Operator Ĥ′′ erzeugen, der jetzt
nur noch ungerade Terme der Ordnung m −2 besitzt. Die Fortsetzung dieses Verfahrens
liefert uns eine unendliche Folge von unitären Transformationen, die zu einer sukzessiven
Reduktion der ungeraden Beiträge führt. Mit der inversen Masse – oder genauer der
zugehörigen inversen Ruheenergie 1/(mc 2 ) – haben wir somit auch den kleinen Parameter
einer störungstheoretischen Entwicklung gefunden. Wir erhalten in dritter Ordnung
letztlich den transformierten Hamilton-Operator O ′ in Ĥ′ is of the order m −1 , in contrast
to O in Ĥ. The precise structure of O is not important for this procedure. Using O′ in
5.363 yields a new operator Ŝ of the order m−2 that transforms Ĥ′ into a new Hamiltonian
Ĥ′′ , that only contains odd terms of order m −2 . The continuation of this procedure
leads to an infinite number of unitary transformations that successively reduce the odd
terms. The inverse mass m −1 – or more precisely the inverse rest energy 1/(mc 2 ) – is
the order parameter of this perturbation series. In third order we obtain eventually the
Hamiltonian
Ĥ ′′′ = β ( mc 2 β + 1
2cm 2 O2 − 1
8m 3 c 6 O4) + E − 1
8m 2 [O, [O, E]] −
i
c4 8m 2 [O, Ȯ] (5.365)
c4 Wobei Where E = eφ und and O = c⃗α (ˆ⃗p −
e
c ⃗ A ) .
Auswertung des transformierten Operators Evaluation of the transformed
Hamiltonian
Wenn man den transformierten Hamilton-Operators explizit als Funktion der elektromagnetischen
Felder darstellt, ergibt sich O ′ If the transformed Hamiltonian is written in
dependence on the electromagnetic fields one obtains
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