Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Loch hat negative Energie The hole has a negative energy
ɛ hole
K = −ɛ K (8.1)
(Loch will aufsteigen, Teilchen absteigen The hole gains energy by moving up, the particle
releases energy by moving down)
⇒ zeitabhängige Wellenfunktion des Lochs time-dependent antiparticle wave function
ψ hole
+ = Φ K e −i(−ɛ K)t/
= Φ K e iɛ Kt/
ɛ K < ɛ F (8.2)
(8.3)
D.h. Loch im Teilchen–Loch–Bild kann interpretiert werden als ein Teilchen, das in der
Zeit rückwärts läuft. The hole may be understood as a particle that moves back in time
in the particle-hole representation.
Gesamtwellenfunktion nicht wechselwirkender Teilchen ist das Produkt der Einteilchenwellenfunktionen,
bei identischen Fermionen muß sie jedoch antisymmetrisch werden.
The many-body wave function of non-interacting particles may be written as product of
the single-particle orbitals. In case of Fermions, however, it needs to be antisymmetric.
→ Slater–Determinante Slater determinant
∣ ∣∣∣∣∣∣
Φ K1 ,...,K n
(r 1 , . . . , r N ) = √ 1
Φ K1 (r 1 ) . . . Φ K1 (r N )
.
.
N! Φ KN (r 1 ) . . . Φ KN (r N ) ∣
(8.4)
Bem: Im Falle von WW der Teilchen untereinander können die korrekten Vielteilchenwellenfunktionen
als Linearkombination von Slaterdeterminanten dargestellt werden.
In the case that the particles interact the correct many-body wave function
may be written as linear combination of Slater determinants.
Vereinfachen die Notation, indem wir nur die Besetzung der Einteilchenorbitale berücksichtigen
Simplify the notation by restricting ourselves to the occupation of the singleparticle
orbitals
Φ K1 ,...,K N
(r 1 , . . . , r N ) → |n 1 , n 2 , n 3 , . . .〉 (8.5)
mit n i = 0 oder 1 (Pauli–Prinzip) where n i = 0 or 1 (Pauli principle). This is called
”occupation number notation” and reminds us of the shell notation for atoms, e.g.,
(1s) 2 (2s) 2 (2p) 1 .
Damit angeregter Zustand von vorhin The excited state discussed previously is thus given
as
|1 1 , 1 2 , 0 3 , 1 4 , 1 5 , 0 6 , 0 7 , 1 8 , . . .〉 (8.6)
Gehen jetzt wieder ins Teilchen–Loch–Bild und halten nur Änderungen vom Grundzustand
fest. Now in most cases of interest the systems are weakly excited, i.e., only a few
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