Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Das Wasserstoffmolekülion dient oft of als Beispiel einer ”anschaulichen” Interpretation
der chemischen Bindung. Im Lehrbuch ”Molekülphysik und Quantenchemie” von Hermann
Haken und Hans Christoph Wolf (Springer, 1994) heißt es zum Beispiel: ”...ist
bei dem gebundenen Zustand die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons zwischen
den beiden Kernen relativ groß. Es kann also, energetisch gesehen, von der Coulombschen
Anziehungsenergie beider Kerne profitieren, wodurch die potentielle Energie des Gesamtsystems
abgesenkt wird. Im lockernden Zustand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
Elektrons zwischen den beiden Kernen klein, in der Mitte sogar 0, was bedeutet, daß das
Elektron fast nur die Anziehungskraft jeweils eines Kerns spürt.”
Interessanterweise steht das im Widerspruch zur Aussagen eines anderen renommierten
Lehrbuchs, ”Quantentheorie der Moleküle” von Joachim Reinhold (Teubner, 1994), wo
es heißt: ”Oft wird [...] der Eindruck erweckt, als würden sich ”bindende” Elektronen
(im Beispiel des H 2
+ ein einzelnes Elektron, im allgemeinen aber ”Elektronenpaare”) deshalb
bevorzugt (d.h. mit großer Wahrscheinlichkeit) zwischen den Kernen aufhalten, weil
dann durch die räumliche Anordnung von negativer Ladung zwischen den beiden positiven
Kernladungen die potentielle Energie besonders niedrig wäre. Diese auf klassische
elektrostatischen Vorstellungen beruhende Interpretation ist jedoch unzulässig. Gründliche
Analysen der Zusammenhänge ergeben ein anderes Bild. Zwar ist beim Gleichgewichtsabstand
in der Tat die potentielle Energie abgesenkt (und die kinetische Energie
weniger stark erhöht), aber für die Bindungsbildung, d.h. die anziehende Wirkung bei
der Annäherung der Atome ist die Absenkung der kinetischen Energie entscheidend (die
potentielle Energie wird dabei - wenn auch schwach - erhöht). Eine Erklärung dafür läßt
sich aus der Unschärferelation folgern. Bei der Bindungsbildung kommt es in der Bindungsregion
zu einer ”Durchdringung”, ”Überlagerung”, ”Überlappung” oder ”Interferenz”
(hier ist das Wellenbild günstig) der atomaren Zustandsfunktionen (”Wellenfunktionen”).
Bei ”bindenden” Verhältnissen (positive Überlappung) resultiert daraus eine Vergrößerung
der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen in der Bindungsregion, bei ”antibindenden”
(”negative Überlappung”) eine Verringerung. Bei bindenden Verhältnissen
stehenden Elektronen also größere Raumbereiche (im Vergleich zum Fall getrennter Atome)
zur Verfügung, ihre Ortsunschärfe wird größer. Dadurch sinkt ihre Impulsunschärfe.
Da der mittlere Impuls bei gebundenen Elektronen 0 ist, werden somit kleinere Impulse
wahrscheinlicher. Wegen T = p 2 /2m e werden damit auch kleinere Werte für die kinetische
Energie wahrscheinlicher, wodurch sich die mittlere kinetische Energie der Elektronen
verringert. Durch diese Verringerung wird die Vergrößerung der potentiellen Energie
überkompensiert. Die kinetische Energie ist damit der entscheidende Energiebeitrag für
die Bindungsbildung.”
Aus der Gegenüberstellung dieser beiden Aussagen wird deutlich, daß die ”anschauliche”
Interpretation der Quantenmechanik ihre Grenzen hat, und man sich im Zweifelsfall auf
die numerischen Ergebnisse beschränken muß.
Tunneleffekt tunnel effect
betrachten jetzt zeitabhängige Lösung des Wasserstoffmolekülions, aus Vereinfachungsgründen
nehmen wir im folgenden verschwindenden Überlapp an, d.h. S = 0 now consider
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