Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
D.h. die Metrik des Minkowski–Raumes ist gegeben durch The Minkowski metric is
usually denoted by g and can be written as a four-by-four matrix
⎛
⎞
1 0 0 0
(g ij ) = ⎜0 −1 0 0
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠ . (5.157)
0 0 0 −1
Aus g ki g im = δm k ergibt sich durch Inversion dann die kontravariante Metrik. The contravariant
metric is obtained by inverting, i.e., exploiting that g ki g im = δm.
k
⎛
⎞
1 0 0 0
(g ij ) = ⎜0 −1 0 0
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠ (5.158)
0 0 0 −1
Jetzt zur Lorentz–Trafo zwischen Σ und Σ ′ , funktionaler Zusammenhang in der Form
Now we want to Lorentz transform between the reference frames Σ and Σ ′ , it holds
Λ i i ′
= ∂xi
∂x i′
x i = x i (x i′ ) (5.159)
⇒dx i = ∂xi
∂x i′ dx i′ (5.160)
ist die Transformationsmatrix, die zwischen den Koordinatendifferentialen
vermittelt. The transformation matrix Λ i i
= ′ ∂xi
∂x
reference frames.
i′
relates the coordinates in the two
Allgemein transformieren sich kontravariante Vektoren zwischen Σ und Σ ′ wie Generally
it holds for transformations of contravariant Vektors between Σ and Σ ′
für Umkehrtrafo gilt The inverse transformation is given by
A i = Λ i i ′Ai′ (5.161)
A i′ = Λ i′
i A i (5.162)
mit Trafo–Matrix für die Rücktrafo where the corresponding matrix elements
Λ i′
i
⇒ Λ i′
i Λ i k ′ = ∂xi′
∂x i
= ∂xi′
∂x i (5.163)
∂x i
= δ i′
∂x k′ k ′. (5.164)
Brauchen jetzt noch Trafo für kovariante Vektoren. Nutzen dabei aus, daß das Skalarprodukt
zweier Vektoren ein Skalar und damit invariant gegenüber Transformationen ist,
d.h. In order to determine the transformation matrix for covariant vectors we exploit the
fact that the scalar product is Lorentz invariant, i.e.,
A i B i = A i′ B i ′ = Λ i′
i A i B i ′ = A i (Λ i′
i B i ′) (5.165)
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