Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
D.h. wenn die Greenfunktion für die homogene Gleichung bekannt ist, erhält man mit
geringer Mühe die Lösung einer beliebigen inhomogenen Gleichung. Thus knowing the
Green’s function for the homogeneous equation one can calculate, with the minimum of
extra work, the properties of the solution under a whole range of different conditions.
7.2 Störungsrechnung mit Greenschen Funktionen
Green’s functions and Perturbation Theory
Kleiner Störterm V (r), suchen Lösung von The most common form of inhomogeneity in
quantum mechanics is the presence of a perturbation. In this case we have, in addition to
the Hamiltonian Ĥ(r), which is assumed soluble, an extra, usually small potential V (r),
so that
{Ĥ(r) − E + V (r)}ψ(r) = 0 (7.15)
D.h. die Inhomogenität ist jetzt In terms of the chapter above this means that
f(r) = −V (r)ψ(r) (7.16)
Sei ψ 0 (r) die Lösung des ungestörten Problems mit Greenfunktion G(r, r ′ ; E) Suppose
ψ 0 (r) is a solution to the unperturbed equation with Green’s function G(r, r ′ ; E)
{Ĥ(r) − E}ψ 0(r) = 0 (7.17)
dann ist then we have an integral equation so solve for the wave function rather than a
simple integral solution
∫
ψ(r) = ψ 0 (r) + G(r, r ′ ; E)V (r ′ )ψ(r ′ ) dr ′ (*)
Beweis Proof: Anwendung von {Ĥ(r) − E} von links
Operating on both sides with (H(r) − E):
{Ĥ(r) − E}ψ(r)
∫
(7.19)
= {Ĥ(r) − E}ψ 0(r) +
} {{ }
{Ĥ(r) − E}G(r, r′ ; E) V (r ′ )ψ(r ′ ) dr ′
} {{ }
(7.20)
−δ(r ′ −r)
0=
= −V (r)ψ(r) (7.21)
✷
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