Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
führen Relativkoordinaten ein transform to relativ coordinates
Kernabstand proton distance R AB
⃗x A = ⃗x − ⃗ R A (1.82)
⃗x B = ⃗x − ⃗ R B (1.83)
Eigentlich haben wir es hier mit einem Dreiteilchenproblem zu tun, welches schon klassisch
nicht exakt lösbar ist. Actually, we are dealing here with a three-body problem that
already classically cannot be solved analytically.
⇒ betrachten die Kerne als in Ruhe befindlich, ihre Lage geht nur als Parameter in das
Problem ein (Born–Oppenheimer–Näherung) Consider the core positions as fixed, they
enter the problem only as a parameter (Born–Oppenheimer Approximation)
Damit Hamilton–Operator Hamiltonian thus given as
Ĥ = ˆp2
2m −
e2
|ˆx A | −
e2
|ˆx B |
(1.84)
mit zugehöriger, zeitunabhängiger SG where the corresponding time-independent SE
reads
Ĥ|ψ〉 = E|ψ〉 (1.85)
betrachten zunächst den Fall, daß beide Kerne unendlich weit entfernt sind, im Grundzustand
gilt consider at first the case where the cores are infinitely far from each other;
then for the ground state it holds
Ĥ A |φ A 〉 = E 1 |φ A 〉
Ĥ B |φ B 〉 = E 1 |φ B 〉
mit with ĤA = ˆp2
2m −
e2
|ˆx A |
mit with ĤB = ˆp2
2m −
e2
|ˆx B |
(1.86)
(1.87)
Das jeweilige Problem ĤA/ĤB ist bekanntermaßen das Wasserstoffproblem, E 1 ist die
Grundzustandsenergie (−13, 6 eV) The respective problem ĤA/ĤB is known as hydrogen
problem, E 1 corresponds to the ground-state energy (−13.6 eV)
Falls die Kerne ∞ entfernt sind, kann die Wellenfunktion des Gesamtsystems als Superposition
von |φ A 〉 und |φ B 〉 dargestellt werden Provided the atoms are ∞ far from each
other, the wave function of the complete system may be written as superposition from
|φ A 〉 and |φ B 〉
|ψ〉 = c A |φ A 〉 + c B |φ B 〉 (1.88)
Nehmen jetzt an, daß dieser Ansatz auch für endlichen Abstand gut ist (Näherung von
Heitler und London). Now assume that this ansatz works as well for finite distances
(approximation made by Heitler and London).
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