Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Da dieser Anteil nicht verschwindet, aber auch nicht mit ˆ⃗x übereinstimmt, ist der Ortsoperator
weder gerade noch ungerade. This contribution does neither vanish, nor is it
identical with ˆ⃗x. Therefore the position operator is neither even nor odd.
Die im Kapitel 5.7 dargestellte Ableitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung
ist ein wichtiges Indiz für die Bestätigung der grundlegenden Bedeutung dieser quantenmechanischen
Evolutionsgleichung. Allerdings hat das obige Verfahren den Nachteil,
daß es nur für stationäre Lösungen und damit zeitunabhängige elektromagnetische Felder
funktioniert. Es wäre interessant zu erfahren, wie die Pauli-Gleichung aussehen würde,
wenn man diese Zeitabhängigkeiten berücksichtigt. Wir werden sehen, daß man eine solche
Darstellung in Form einer Reihenentwicklung bekommen kann, die in den niedrigsten
Ordnungen die Pauli-Gleichung, in höheren Ordnungen aber auch relativistische Korrekturen
liefert, die experimentell überprüfbar sind und deshalb wesentlich zur Bestätigung
der Dira-Gleichung beitrugen. Im folgenden werden wir ein systematisches Verfahren behandeln,
um den bei positiven Energien relativ kleinen unteren Spinor ϕ des Bispinors
ψ aus der Dirac-Gleichung zu eliminieren. Das Verfahren ist eine störungstheoretische
Variante der im Kapitel 1.1 besprochenen Methode der kanonischen Transformation. In
chapter 5.7 we derived the Pauli equation from the Dirac equation starting from the
assumption of free particles and for the stationary case. Now it would be interesting to
know what the Pauli equation looks like for time dependent fields. Below it will be shown
how a series expansion yields in low order the Pauli equation, and relativistic corrections
in the higher-order terms. Thereby we systematically eliminate the (for positive energies
small) lower spinor ϕ of the bispinors ψ resulting from the Dirac equation, using
canonical transformation as introduced in chapter 1.1.
Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist die Dirac-Gleichung im elektromagnetischen
Feld in der Schrödinger’schen Form 5.304 Thereby the Schrödinger-like representation
5.304 of the Dirac equation for an particle in an electromagnetic field serves as starting
point.
i ∂ψ
∂t = Ĥψ ,
Ĥ = c⃗α(ˆ⃗p −
e
c ⃗ A ) + eφ + mc 2 β (5.329)
Würden wir die Terme mit den nichtdiagonalen Matrizen α µ nicht berücksichtigen, dann
wären die beiden Zweierspinoren χ und ϕ des Bispinors ψ in der Dirac-Gleichung bereits
entkoppelt und wir hätten eine Evolutionsgleichung für χ gewonnen. Man kann sich
leicht davon überzeugen, daß die beiden Zweierspinoren durch die Matrizen α, nicht aber
durch β, gemischt werden. Das Ziel der folgenden Überlegungen und Rechnungen wird
es sein, die mischenden Operatoren mit einer kanonischen Transformation aus der Dirac-
Gleichungn zu eliminieren. If there were no non-diagonal matrizes α µ , the spinors χ and ϕ
of the bispinor ψ would not couple and we had an equation of motion for χ. The matrix
β does not mix the components. The aim of the following transformations consists in
eliminating the operators that mix the components.
Im Prinzip spielt die Matrix β eine ähnliche Rolle wie der Vorzeichenoperator. Während
Ẑ die Basiszustände der ebenen Wellenlösungen bezgl. des Vorzeichens der Energie un-
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