Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Beweis Proof: (vgl. see R. H. Good, Jr Rev. Mod. Phys. 27, 187 (1955))
unterteilt sich in zwei Teile is done in two steps
i) Zu zwei Darstellungen γ i , γ i ′, der Dirac–Algebra existiert eine Matrix Ŝ mit γ′ i =
Ŝγ i Ŝ −1 Two representations γ i , γ i ′ of the Dirac algebra are related by a transformation
Ŝ mit γ′ i = ŜγiŜ−1
ii) falls außerdem gilt if furthermore
γ 0 = γ + 0 , γµ = −γ µ+ (5.76)
γ ′ 0 = γ ′ +
0 , γ ′ µ = −γ ′ +
µ (5.77)
so kann Ŝ unitär gewählt werden then Ŝ is unitary
Der Beweis arbeitet mit den 16 4x4 Matrizen The proof employs 16 4x4 matrices
ˆΓ A (A = 1, . . . , 16) (5.78)
ˆΓ A =Î, γ 0, iγ 1 , iγ 2 , iγ 3 , iγ 2 γ 3 , iγ 3 γ 1 , iγ 1 γ 2 , γ 1 γ 0 , γ 2 γ 0 , (5.79)
γ 3 γ 0 , γ 1 γ 2 γ 3 , iγ 1 γ 2 γ 0 , iγ 3 γ 1 γ 0 , iγ 2 γ 3 γ 0 , iγ 1 γ 2 γ 3 γ 0
Nachrechnen zeigt, daß It can be shown that
Nun zum eigentlichen Beweis Start
ˆΓ 2 A = Î A = 1, . . . , 16 (5.80)
1) Für alle For all ˆΓ A außer der apart from Î existiert ein exist a ˆΓ B mit where
und zwar specifically
ˆΓ B ˆΓAˆΓB = −ˆΓ A (5.81)
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B 9 4 3 3 4 5 3 2 2 2 2 6 6 7 2
2) Die Spuren aller Γ A (A = 2, . . . , 16) sind Null, denn The traces of Γ A (A =
2, . . . , 16) vanish, because of
− Sp(ˆΓ A ) = Sp(ˆΓ B ˆΓAˆΓB ) = Sp(ˆΓ 2 B
ˆΓ A ) = Sp(ˆΓ A ) (5.82)
=
⇒ Sp(ˆΓ A ) = 0 (5.83)
Î
3) Die ˆΓ A sind linear unabhängig, d.h. The Γ A are linearly independent, i.e.
∑16
A=1
a AˆΓA = 0 ⇒ a A = 0 ∀A (5.84)
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