Skript / lecture notes - Universität Paderborn

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Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik Falls keine Wechselwirkung zwischen Orts– und Spinkoordinate bestehen (d.h. unter Vernachlässigung der Spin–Bahn–Kopplung) können wir WF in Orts– und Spin–Anteil faktorisieren: In case there is no interaction between spatial and spin coordinates (i.e., if spin-orbit interaction is neglected) we can factorize the spatial and spin dependence of the wave function: ψ(⃗x, s) = jetzt speziell 2 Elektronen consider now two electrons muß antisymmetrisch sein needs to be antisymmetric ⇒ 2 Möglichkeiten: two possibilities: ψ(⃗x) }{{} (α + χ + + α − χ − ) } {{ } (4.34) Ortsfunktion spatial function χ(s) Spinfunktion spin function ψ(1, 2) = ψ ⃗x (1, 2) · χ(1, 2) (4.35) - symmetrisch im Ort, antisymmetrisch im Spin symmetric with respect to position, antisymmetric with respect to spin - antisymmetrisch im Ort, symmetrisch im Spin antsymmetric with respect to position, symmetric with respect to spin dabei for the spin function it holds χ S (1, 2) = c · {χ 1 (1)χ 2 (2) + χ 1 (2)χ 2 (1)} (4.36) χ A (1, 2) = c · {χ 1 (1)χ 2 (2) − χ 1 (2)χ 2 (1)} (4.37) ↑ Normierung damit hence { (A) ψ ψ (A) ⃗x (1, 2) = (1, 2)χ S(1, 2) (4.38) ψ (S) ⃗x (1, 2)χ A(1, 2) können Spinfunktion explizit angeben, da nur 2 Einstellmöglichkeiten vorhanden: spin funktion allows only for two values, may be explicitly given χ 1 (1) ↗ χ + (1) Teilchen 1 hat Spin particle 1 has spin ↑ ↘ χ − (1) Teilchen 1 hat Spin particle 1 has spin ↓ (4.39) damit folgende Möglichkeiten thus two possibilities ⎧ ↑↑ + ↑↑ = χ + (1)χ + (2) = χ 1 1 } ⎪⎨ ↑↓ + ↓↑ χ S = = √ 1 [χ + (1)χ − (2) + χ + (2)χ − (1)] = χ 0 1 (4.40) ↓↑ + ↑↓ 2 ⎪⎩ ↓↓ + ↓↓ = χ − (1)χ − (2) = χ −1 1 { } ↑↓ − ↓↑ χ A = = √ 1 [χ + (1)χ − (2) − χ + (2)χ − (1)] = χ 0 0 (4.41) ↓↑ − ↑↓ 2 56
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik mit der Notation above the following notation has been used χ ms s m s . . . z–Komponente des Gesamtspins z component of total spin s = s 1 + s 2 . . . Gesamtspin total spin (4.42) χ −1 1 , χ0 1, χ 1 1 haben have S = 1 m s = {−1, 0, 1} (4.43) ⇒ werden als “Triplett”–Zustände bezeichnet are called ”triplet” states χ 0 0 hat S = 0, m s = 0 ⇒ Singulett–Zustand is called ”singlet” state (Übungsaufgabe: Beweisen, daß die Liko’s der χ ± (i) tatsächlich zu Triplett/ Singulett– Zuständen führen Exercise: Demonstrate that the linear combinations above are indeed spin triplets or spin singlets) graphische Interpretation schematic illustration ⎫ ⎫ ⎪⎬ χ 1 1 ⎪⎭ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎫ χ 0 1 χ s , ⎪⎬ Triplett, “Spin parallel” triplet “spins parallel” (4.44) ⎪⎬ χ −1 1 ⎪⎭ ⎪⎭ Gesamtspin verschwindet χ A Singulett “Spin antiparallel” “spins antiparallel” singlet (4.45) 57
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