Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
für das Auftreten des Teilchens zur Endzeit t E am Ort x E gegeben durch Integration
über alle anfänglichen Teilchenpositionen x A gewichtet mit der Ortsdarstellung des
Zeitentwicklungsoperators for the appearance of the particle at the position x E at the
final time t E given by integrating over all initial positions x A weighted with the position
representation of the time evolution operator
〈x E |Û(t E, t A )|x A 〉 (6.23)
wird daher auch als Propagator bezeichnet. is called propagator.
Kompaktere Darstellung in der Form Often are more compact notation is used
∫
ψ(x E , t E ) = dx A K(x E , t E ; x A , t A )ψ(x A , t A ) (6.24)
mit dem Integralkern (Propagator) employing the integration kernel (propagator)
K(x E , t E ; x A , t A ) = 〈x E |Û(t E, t A )|x A 〉 (6.25)
= 〈x E | ˆT e − i ∫ tE
tA Ĥ(t ′ )dt ′ |x A 〉 (6.26)
können jetzt einen Zwischenzeitpunkt t 1 einführen may introduce intermediate time t 1
t A < t 1 < t E (6.27)
|ψ(t E )〉 = Û(t E, t 1 )Û(t 1, t A )|ψ(t A )〉 (6.28)
in Ortsdarstellung folgt in position representation it follows
〈x E |ψ(t E )〉 = 〈x E |Û(t E, t 1 )Û(t 1, t A )|ψ(t A )〉 (6.29)
∫
= dx 1 dx A 〈x E |Û(t E, t 1 )|x 1 〉〈x 1 |Û(t 1, t A )|x A 〉〈x A |ψ(t A )〉 (6.30)
d.h. i.e.,
∫
ψ(x E , t E ) =
dx 1 dx A K(x E , t E ; x 1 , t 1 ) K(x 1 , t 1 ; x A , t A )ψ(x A , t A ) (6.31)
offensichtlich gilt obviously
∫
K(x E , t E ; x A , t A ) =
dx 1 K(x E , t E ; x 1 , t 1 )K(x 1 , t 1 ; x A , t A ) (6.32)
unten siehe graphische Darstellung des Propagators des Teilchens von (x A , t A ) nach
(x E , t E ) mit verschiedenen Zwischenpunkten (x 1 , t 1 ) below see schematic representation
of the propagator of the particle moving from (x A , t A ) to (x E , t E ) with intermediate
coordinates (x 1 , t 1 )
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