Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Die kleinste Dimension, die alle Bedingungen (*)/(**)/(***) erfüllt, ist N = 4. Eine
mögliche Lösung ist N = 4 is the smallest dimension N which satisfies (*)/(**)/(***).
One possible solution is given by
α µ =
( 0
)
σµ
σ µ 0
und and β =
(Î ) 0
0 −Î
(5.21)
die sich aus den drei Pauli–Matrizen (vgl. 3.2) where the α µ are constructed from the
Pauli matrices (cf. 3.2)
ˆσ x =
( ) 0 1
, ˆσ
1 0
y =
( )
( )
0 −i
1 0
, ˆσ
i 0
z =
0 −1
(5.22)
Î zusammensetzen läßt. and the two-
und der zweidimensionaler Einheitsmatrix
dimensional identity matrix.
Übung: Exercise: Zeigen, daß die obige Wahl tatsächlich die Bedingungen (*) (**) (***)
erfüllt. Show that the above choice indeed satisfies (*) (**) (***).
Bringen jetzt unsere Gleichung Reformulate equation
⎡
⎤
i ∂ 3∑
∂t ψ = c ⎣ α µ ˆp µ + βmc⎦ ψ (5.23)
µ=1
in eine kompaktere Form. Definieren 4 γ–Matrizen (Dirac–Matrizen) in a more compact
manner. Define 4 γ matrices (Dirac matrices)
γ 0 = β, γ µ = βα µ für for µ = 1, 2, 3 (5.24)
d.h. explizit gilt i. e. explicitely
γ 0 =
(Î ) 0
0 −Î
und γ µ =
( 0
) ˆσµ
−ˆσ µ 0
(5.25)
Weil β und α µ hermitesch sind, gilt γ 0 hermitesch sowie wegen γ 0 is hermitian, because
β und α µ hermitian. Because of
γ µ+ = (βα µ ) + = α + µ β + = α µ β
γ µ antihermitesch, also γ µ is antihermitian, i.e.,
(5.26)
←−(**)
−βα µ
−γ µ
=
=
70