Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Damit erhalten (unter Beachtung der Einstein Konvention) die Standardform der Altogether
we thus obtain (observing the Einstein convention) the standard form of the
Dirac–Gleichung Dirac equation
(
)
i γ k ∂ k − mc ψ = 0 (5.46)
Jede Komponente von ψ genügt (nach Konstruktion der Dirac–Gleichung) der Klein–
Gordon–Gleichung. Die Umkehrung gilt aber nicht, vielmehr stellt die Dirac–Gleichung
Abhängigkeiten zwischen den Lösungen der Klein–Gordon–Gleichung her. All the components
of the wave function ψ individually satisfy the relativistic energy–momentum
relation, i.e., the Klein-Gordon equation. However, not all solutions of the Klein-Gordon
equation are as well solutions to Dirac equation, because the latter asserts additional
constraints on the individual components.
Bem Note: Analogie zur Elektrodynamik: Wellengleichungen für ⃗ E und ⃗ B–Feld, aber
diese Felder werden zusätzlich durch die grundlegenderen Maxwell–Gleichung verknüpft.
The above situation is similar to electrodynamics, where wave equations
hold for the electric and magnetic fields individually, but they are additionally
related by Maxwells equations.
Energie–Impuls–Relation energy-momentum relation
Nach de Broglie wird ein freies Teilchen der Energie E und mit Impuls ⃗p durch eine Welle
According to the concept of matter waves or de Broglie waves a free particle of energy E
and momentum p may be represented by wave function
repräsentiert (QM I).
ψ = A · e i (⃗p·⃗r−Et) (5.47)
Setzen ψ jetzt in die Klein–Gordon–Gleichung ein Insert ψ in the Klein–Gordon equation
{( 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 − ∇ ⃗ 2 + m2 c 2 }
2 Ae i (⃗p·⃗r−Et) = 0 (5.48)
{− E2
c 2 2 + ⃗p 2
2 + m2 c 2 }
2 Ae i (⃗p·⃗r−Et) = 0 (5.49)
für A ≠ 0 folgt for A ≠ 0 it holds
E 2 = c 2 ⃗p 2 + m 2 c 4 (5.50)
D.h. Klein–Gordon–Gleichung (und damit auch Dirac–Gleichung) führen zur relativistischen
Energie–Impulsbeziehung Obviously both the KGE and the DE comply with the
relativistic energy-momentum relation
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