Skript / lecture notes - Universität Paderborn

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Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik Bem: Note: Insbesondere gilt In particular it holds ∫ Ĥ(t) = dr ˆψ + (r, t)Ĥ(r) ψ(r, ˆ t) (8.75) Bewegungsgleichung der Feldoperatoren Equation of motion ̂= Heisenberg’sche Bewegungsgleichung Like any other operator, the field operator must satisfy the Heisenberg equation of motion ∂ ˆψ(r, t) ] = [Ĥ, ˆψ(r, t) i ∂t − ˆψ(r,t) ˆψ(r ′ ,t) (8.76) ∫ { }} { = dr ′ [ ˆψ + (r ′ , t)Ĥ(r′ ) ˆψ(r ′ , t) ˆψ(r, t) − ˆψ(r, t) ˆψ + (r ′ , t)Ĥ(r′ )ψ(r ′ , t)] (8.77) ∫ = − dr ′ [ ˆψ + (r ′ , t)Ĥ(r′ ) ˆψ(r, t) ˆψ(r ′ , t) + ˆψ(r, t)ψ + (r ′ , t)Ĥ(r′ )ψ(r ′ , t)] (8.78) ∫ = − dr ′ [ ˆψ + (r ′ , t) ˆψ(r, t) + ˆψ(r, t) ˆψ + (r ′ , t) } {{ } )ψ(r, t) (8.79) δ(r−r ′ ) = − Ĥ(r) ˆψ(r, t) (8.80) ⇒ i ∂ ∂t ˆψ(r, t) = Ĥ(r) ˆψ(r, t) (8.81) D.h. Feldoperator genügt der Schrödingergleichung, erinnert damit an Schrödingerwellenfunktion, aber ist ein Operator, der im Bild des Besetzungszahlenformalismus wirkt. Großer Vorteil im Vergleich zur “gewöhnlichen” Wellenfunktionen ist, daß die Statistik des Systems über die Kommutatorbeziehungen bereits im Feldoperator korrekt enthalten ist. Hier Fermionenstatistik, aber für Bosonen läßt sich der Formalismus ähnlich darstellen. Thus, the field operator satisfies Schrödinger’s equation but acts upon the occupation number representation. This is obviously an important development. Let us consider the implications further. Since the vacuum state is an arbitrary framework and is not used explicitly, it means that all of the spatial and time dependence of the system now resides in the field operator whose equation of motion is the Schrödinger equation. In fact, we have come full circle, in a sense, because the field operator in many respects appears to be the Schrödinger wave function interpreted as an operator. The fact that it is an operator which acts in the occupation number representation is, however, of vital importance. The Schrödinger wave functions do not, for instance, include the statistics of the system inherent in the cummutator relations. Furthermore, from the form of the field operator, its action upon a system is to add or to subtract a particle to it. In case of interacting systems this is important because by studying how the system reacts to that extra particle a great deal may be learned about it. 164
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik Bem: Note: Feldoperatoren lassen sich auch axiomatisch aus Lagrangedichte des jeweiligen Feldes + Vertauschungsrelationen der quantisierten Normalkoordinaten und kanonisch konjugierten Impulse ableiten. Field operators may be axiomatic introduced based on the Lagrange density and the commutator relations of the quantized normal coordinates and conjugate momentum variables. 165
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