Skript / lecture notes - Universität Paderborn

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Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik Da dieser Anteil nicht verschwindet, aber auch nicht mit ˆ⃗x übereinstimmt, ist der Ortsoperator weder gerade noch ungerade. This contribution does neither vanish, nor is it identical with ˆ⃗x. Therefore the position operator is neither even nor odd. Die im Kapitel 5.7 dargestellte Ableitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung ist ein wichtiges Indiz für die Bestätigung der grundlegenden Bedeutung dieser quantenmechanischen Evolutionsgleichung. Allerdings hat das obige Verfahren den Nachteil, daß es nur für stationäre Lösungen und damit zeitunabhängige elektromagnetische Felder funktioniert. Es wäre interessant zu erfahren, wie die Pauli-Gleichung aussehen würde, wenn man diese Zeitabhängigkeiten berücksichtigt. Wir werden sehen, daß man eine solche Darstellung in Form einer Reihenentwicklung bekommen kann, die in den niedrigsten Ordnungen die Pauli-Gleichung, in höheren Ordnungen aber auch relativistische Korrekturen liefert, die experimentell überprüfbar sind und deshalb wesentlich zur Bestätigung der Dira-Gleichung beitrugen. Im folgenden werden wir ein systematisches Verfahren behandeln, um den bei positiven Energien relativ kleinen unteren Spinor ϕ des Bispinors ψ aus der Dirac-Gleichung zu eliminieren. Das Verfahren ist eine störungstheoretische Variante der im Kapitel 1.1 besprochenen Methode der kanonischen Transformation. In chapter 5.7 we derived the Pauli equation from the Dirac equation starting from the assumption of free particles and for the stationary case. Now it would be interesting to know what the Pauli equation looks like for time dependent fields. Below it will be shown how a series expansion yields in low order the Pauli equation, and relativistic corrections in the higher-order terms. Thereby we systematically eliminate the (for positive energies small) lower spinor ϕ of the bispinors ψ resulting from the Dirac equation, using canonical transformation as introduced in chapter 1.1. Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist die Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld in der Schrödinger’schen Form 5.304 Thereby the Schrödinger-like representation 5.304 of the Dirac equation for an particle in an electromagnetic field serves as starting point. i ∂ψ ∂t = Ĥψ , Ĥ = c⃗α(ˆ⃗p − e c ⃗ A ) + eφ + mc 2 β (5.329) Würden wir die Terme mit den nichtdiagonalen Matrizen α µ nicht berücksichtigen, dann wären die beiden Zweierspinoren χ und ϕ des Bispinors ψ in der Dirac-Gleichung bereits entkoppelt und wir hätten eine Evolutionsgleichung für χ gewonnen. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß die beiden Zweierspinoren durch die Matrizen α, nicht aber durch β, gemischt werden. Das Ziel der folgenden Überlegungen und Rechnungen wird es sein, die mischenden Operatoren mit einer kanonischen Transformation aus der Dirac- Gleichungn zu eliminieren. If there were no non-diagonal matrizes α µ , the spinors χ and ϕ of the bispinor ψ would not couple and we had an equation of motion for χ. The matrix β does not mix the components. The aim of the following transformations consists in eliminating the operators that mix the components. Im Prinzip spielt die Matrix β eine ähnliche Rolle wie der Vorzeichenoperator. Während Ẑ die Basiszustände der ebenen Wellenlösungen bezgl. des Vorzeichens der Energie un- 112
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik terscheidet, kennzeichnet β die oberen und unteren Bispinorkomponenten The matrix β discriminates between the upper and the lower spinors, similarly as Ẑ does ( ( ( ( χ χ 0 0 β = , β = − 0) 0) ϕ) ϕ) (5.330) Man kann auf diese Weise analog zum obigen Vorgehen Projektoren formulieren, die entweder die obere oder die untere Spinorkomponente aus einem Bispinor herausfiltern, Similarly to the procedure used above one may construct projectors that filter the upper or the lower spinor from the bispinor ˆB ± = 1 (Î ± β), ˆB+ 2 ( ) χ = ϕ ( ( ) ( χ χ 0 , ˆB− = 0) ϕ ϕ) (5.331) ] Außerdem können wir wieder jeden Operator [Â Â in einen geraden Anteil und einen ungeraden Anteil {Â} zerlegen, die jetzt aber bezgl. der Matrix ] β gebildet werden Also, any operator [Â Â can be decomposed in an even contribution and an odd contribution {Â}, using the β matrix [Â] 1 = + β Âβ 2(Â ) , {Â} = 1 (Â − β Âβ ) (5.332) 2 Man überzeugt sich leicht davon, daß β ein gerader Operator mit [β] = β ist, während die Matrizen α µ ungerade (mischende) Operatoren sind, d.h. {α µ } = α µ gilt. Using the commutator relations for the α and β matrizes it is easily shown that β is an even operator [β] = β and α µ is an odd operator, i.e. {α µ } = α µ . Konzept der Foldy-Wouthuysen-Transformation, concept behind the Foldy- Wouthuysen Transformation Das Ziel dieser Transformation ist wie oben bereits erwähnt, alle mischenden - also ungeraden - Beiträge aus dem Hamilton-Operator zu eliminieren. Obwohl man zeigen kann, daß eine solche Transformation existieren muß, wird uns deren explizite Bestimmung im allgemeinen Fall beliebiger elektromagnetischer Felder nur störungstheoretisch gelingen. Die Grundidee besteht in der Einführung einer unitären Transformation des Zustands Our aim consists in eliminating all mixing, i.e., odd contributions of the Hamiltonian. While it can be shown that this is possible in principle, in the the general case we only be able to do it perturbatively. Thereby we start by performing a unitary transformation of the state ψ → ψ ′ = e iŜψ , ψ = e −iŜψ ′ (5.333) 113
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