Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Ĥ ′ = Ĥ + i[Ŝ, Ĥ] − 1 2 [Ŝ, [Ŝ, Ĥ]] − i [Ŝ, [Ŝ, [Ŝ, Ĥ]]] (5.359)
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+ 1 24 [Ŝ, [Ŝ, [Ŝ, [Ŝ, Ĥ]]]] − ˙Ŝ − i 2 [Ŝ, ˙Ŝ] + 2 [Ŝ, [Ŝ, ˙Ŝ]] + ...
Wir wollen jetzt das eigentliche Verfahren diskutieren. Im Gegensatz zum freien Teilchen
läßt sich die kanonische Transformation für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld
nicht mehr exakt angeben, sondern muß iterativ bestimmt werden. Um eine Vorstellung
von der Struktur von Ŝ zu erhalten, verwenden wir von 5.359 zunächst nur die ersten
beiden Terme und setzen für Ĥ die formale Darstellung von 5.353 ein The transformation
for particles in electromagnetic fields has to be done iteratively. We start be using the
first two terms of 5.359 and use for Ĥ the formal representation given in 5.353
Ĥ ′ ≈ mc 2 β + E + O + i[Ŝ, mc2 β + E + O] (5.360)
Wir wollen jetzt die ungeraden Terme aus dem Hamilton-Operator eliminieren. Deshalb
legen wir jetzt Ŝ so fest, daß der Kommutator [Ŝ, mc2 β] zunächst den ungeraden Operator
O in Ĥ kompensiert, also We want to eliminate the odd terms of the Hamiltonian. To
begin with, we choose Ŝ in such a way that the commutator [Ŝ, mc2 β] compensates the
odd operator O in Ĥ, thus O + i[Ŝ, mc2 β] = 0 (5.361)
gilt. Da O bezgl. β ungerade ist, gilt Oβ = −βO. Dieses Verhalten legt den Ansatz
Ŝ = aβO mit dem noch freien Parameter a nahe. Setzen wir diese Vermutung oben ein,
erhalten wir eine einfache algebraische Gleichung Since O is odd with respect to β, i.e.,
Oβ = −βO, we choose the Ansatz Ŝ = aβO with a as free parameter and obtain indeed
an algebraic equation
iO = [aβO, mc 2 β] = amc 2( βOβ − β 2 O ) = −2amc 2 β 2 O = −2amc 2 O (5.362)
aus der wir sofort a = −i/(2cm 2 ) bestimmen können. Damit ist dann That immediately
yields a = −i/(2cm 2 ), thus
Ŝ = −
i βO (5.363)
2mc2 Offenbar gibt es im Hamilton-Operator 5.353 Terme der Ordnung m und der Ordnung
m 0 . Nach der Transformation mit dem eben bestimmten Ŝ sind zwar in Ĥ′ nicht alle ungeraden
Terme eliminiert, aber alle verbleibenden ungeraden Größen sind jetzt mindestens
von der Ordnung m −1 . Neben den ungeraden Beiträgen treten natürlich auch neue gerade
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