Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
〈ψ|1〉 = 0. Offensichtlich gilt dann In an analogous manner we may approximate the higher
excited states and energies. In order to do so, we minimize ¯H[ψ] under the condition
that |ψ〉 is ⊥ to the ground state, i.e., 〈ψ|1〉 = 0. Then obviously it holds
¯H[ψ] = 〈ψ|Ĥ|ψ〉
(1.143)
〈ψ|ψ〉
∑
〈ψ|n〉〈n|ψ〉E n
n=2
= ∑
〈ψ|n〉〈n|ψ〉
(1.144)
n=2
∑
|c n | 2 E 2
n=2
≥ ∑
|c n | 2 = E 2 . (1.145)
n=2
Beispiel Example: Grundzustand des harmonischen Oszillators: Ground state of the harmonic
oscillator:
Ansatz für Wellenfunktion Ansatz for wave function ψ(x, a) = e − a 2 |x| mit Parameter
with parameter a
¯H(a) =
∞∫
−∞
dx e − a 2 |x| ( −
∞∫
−∞
Für den Nenner gilt For the denominator it holds
∫ ∞
−∞
dx e −a|x| = 2
2m
)
d 2
+ mω 2 x2
dx 2 2
e − a 2 |x|
dx e −a|x| (1.146)
∫ ∞
0
dx e −ax = 2 a . (1.147)
Für den Zähler berechnen wir zunächst Start be evaluating for the numerator the term
d 2 (
dx 2 e− a 2 |x| = − a ) ( ) 2
e
− a d|x| 2
2 |x| − a 2
dx 2 e− a 2 |x| d2 |x|
dx 2 (1.148)
und beachten and remember that
d|x|
dx = {
+1 x > 0
−1 x < 0
,
d 2 |x|
= 2δ(x). (1.149)
dx2 Damit folgt für den ersten Teil des Zählers In this way for the first part of the numerator
it is obtained
∫ ∞
−∞
dx e − a 2 |x| d 2
dx 2 e− a 2 |x| = a2
4
∫
dx e −a|x| − a ∫
dx e −a|x| 2δ(x) = − a 2
2 . (1.150)
} {{ } } {{ }
2
2
a
25