Skript / lecture notes - Universität Paderborn

Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
dĤf
dt
= i [Ĥf , Ĥf ] = 0,
dˆ⃗p H
dt
= i [Ĥf , ˆ⃗p H ] = 0 (5.380)
woraus wir die zeitliche Invarianz des Hamilton-Operators und des Impulsoperators
schließen können. Damit ist aber der Impulsoperator im Heisenberg-Bild identisch zum
Impulsoperator im Schrödinger-Bild, ˆ⃗p H = ˆ⃗p. Aus der Bewegungsgleichung i.e., the Hamiltonian
and the momentum operator are time-independent, meaning that ˆ⃗p H = ˆ⃗p.
From the equation of motion
dˆ⃗α H
dt
= i [Ĥf , ˆ⃗α H ] = 2i
(cÎ ˆ⃗p − ˆα H Ĥ f ) (5.381)
bekommen wir unter Beachtung der Anfangsbedingungen ˆ⃗α H (0) = ˆ⃗α die Lösung we
obtain by considering the initial value ˆ⃗α H (0) = ˆ⃗α the solution
ˆα H (t) = (ˆα − Î cˆ⃗p )
e
− 2i
Ĥf t + Î cˆ⃗p
(5.382)
Ĥ f Ĥ f
Setzen wir diese Lösung in die Bewegungsgleichung für den Ortsoperator If one inserts
this into the equation of motion of the position operator
dˆ⃗x H
dt
= i [Ĥf , ˆ⃗x H ] = cˆα H (5.383)
ein, dann erhalten wir nach einer einfachen Integration mit der Anfangsbedingung
ˆ⃗x H (0) = ˆ⃗x one obtains by integration and assuming ˆ⃗x H (0) = ˆ⃗x
ˆ⃗x H (t) = ˆ⃗x
c2 ˆ⃗p
+ Î t + ic (ˆ⃗α − Î cˆ⃗p
Ĥ f Ĥ f
) e
− 2i
Ĥf t −1
2Ĥf
(5.384)
Der quantenmechanische Erwartungswert ist damit durch This results in the expectation
value
¯⃗x(t) = ¯ˆ⃗x + Îc 2 ˆ⃗p Ĥ −1
f
t + ic
2
(ˆ⃗α − Îcˆ⃗pĤ−1 f
)(
e
− 2i
Ĥf t − 1 ) Ĥ −1
f
(5.385)
gegeben. Die beiden ersten Terme stimmen mit unseren anfänglich geäußerten Vermutungen
überein. Insbesondere bewegt sich hiernach ein freies Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit.
Neu - und für ein freies Teilchen völlig unerwartet - ist dagegen der dritte
Term, der Oszillationen mit einer Frequenz der Größenordnung 2mc 2 / beschreibt. The
first two terms agree with our expectation that a free particle moves with a constant
velocity. The third term, unexpectedly, describes however oscillations with a frequency
of the order 2mc 2 /.
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