Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Für die Ableitung von f(x) gilt f (k) (x) = k! ( α
n)
(1 + x) α−k . Nach dem
Quotientenkriterium folgt die Konvergenz der Taylorreihe, falls |x| < 1. Ausserdem
gilt f ′ (x) =
α
n+1
f(x). Diese Formel gilt auch für
g(x) :=
∞∑
n=0
( α
n)
x n .
Es folgt, dass f − g Ableitung Null hat. Aus g(0) = f(0) = 1 folgt dann g =
f.
Fourierreihen: Ein Ausblick
Hier entwickelt man periodische Funktionen, d.h. Funktionen f : R → C mit
f(x+2π) = f(x) in unendliche Reihen nach dem Funktionensystem cos(kx) und
sin(kx) bzw. exp(ikx). Die Motivation kommt aus der Musik/Akustik: Zerlegung
von Schwingungen in elementare Sinustöne.
Definition 9.25 (Fourierkoeffizienten).
c k := 1 ∫ 2π
f(x) exp(−ikx)dx ∈ C.
2π 0
Integration komplexwertiger Funktionen wird separat im Real- und Imaginärteil
durchgeführt. Die Fourierreihe ist dann:
Die reelle Darstellung ist:
mit
S f (x) =
∞∑
k=−∞
c k exp(ikx)
S f (x) = a ∞
0
2 + ∑
(a k cos(kx) + b k sin(kx))
a k := 1 π
b k := 1 π
k=0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
f(x) cos(kx)dx ∈ R,
f(x) sin(kx)dx ∈ R.
Es stellen sich die gleichen Fragen wie bei Taylorreihen: Wann und wo konvergiert
S f und konvergiert es gegen f(x) Ist f ein trigonometrisches Polynom (Reihe
hat nur endlich viele Summanden), so ist f gleich seiner eigenen Fourierreihe,
100