Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beispiele 7.10. Damit können wir auch die speziellen Funktionen log, arcsin usw.
ableiten:
log ′ 1
(x) =
exp ′ (log x) = 1
exp(log x) = 1 x .
( ) ′ log(x)
log ′ 1
a(x) =
=
log(a) x log(a) .
Diese Formel kann man auch zu einer neuen Definition von e benutzen:
(
e = exp(log ′ log(1 + 1
(1)) = exp lim
) ) ( (
n
= lim exp n log 1 + 1 ))
n→∞
n→∞ n
Weitere Beispiele:
arctan ′ (x) =
arcsin ′ (x) =
1
n
1
cos(arcsin(x)) = 1
√ , x ∈] − 1, 1[.
1 − x
2
1
tan ′ (arctan(x)) = cos2 (arctan(x)) = 1
1 + x , x ∈ R,
2
da 1 + tan 2 (x) = 1/ cos 2 (x). Im Kapitel Integralrechnung werden uns diese Formeln
wieder begegnen.
Satz 7.11 (Kettenregel).
Seien f : I −→ R und g : D −→ R Funktionen mit f(I) ⊆ D. Ist f differenzierbar
in x 0 ∈ I und g differenzierbar in f(x 0 ) ∈ D, so ist auch g ◦ f : I −→ R
differenzierbar in x 0 und es gilt:
(g ◦ f) ′ (x 0 ) = g ′ (f(x 0 )) · f ′ (x 0 ).
Beweis. Betrachte die Hilfsfunktion h(y) := g(y)−g(y 0)
y−y 0
für y ≠ y 0 und h(y 0 ) =
g ′ (y 0 ). Dann gilt aber:
(g ◦ f) ′ (x 0 ) = lim
x→x0
g(f(x)) − g(f(x 0 ))
x − x 0
= lim
x→x0
h(f(x)) · (f(x) − f(x 0 ))
x − x 0
= lim
x→x0
h(f(x)) · lim
x→x0
f(x) − f(x 0 )
x − x 0
= g ′ (f(x 0 )) · f ′ (x 0 ).
= lim
(1 + 1 ) n
.
n→∞ n
Beispiele 7.12. Die allgemeine Potenzfunktion x r := exp(r log(x)) mit x ∈ R >0
und r ∈ R:
(x r ) ′ = (exp(r log(x)) ′ = exp(r log(x)) · r
x = r · xr−1 .
Dies ist die gleiche Regel wie bisher! Insbesondere für die Wurzelfunktion gilt
( √ x) ′ = (x 1 2 ) ′ = 1
2 √ x .
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