Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Funktionen- und Potenzreihen
Sei K ⊆ C eine Teilmenge. Meistens ist hier K = K(a, r) ein Kreis der Form
K(a, r) = {z ∈ C : |z − a| ≤ r}.
Satz 9.8.
Seien f m : K → C Funktionen mit ∑ k ||f k|| K < ∞. Dann konvergiert die Reihe
∑
fn (x) absolut für alle x ∈ K und gleichmäßig auf K gegen eine Funktion
F : K → C.
Beweis. |f m (x)| ≤ ||f m ||. Also folgt die absolute Konvergenz aus dem Majorantenkriterium.
Definiere F (x) := ∑ m f m(x) und F n (x) := ∑ n
m f m(x). Sei ɛ > 0
gegeben. Dann gibt es ein n 0 ∈ N mit ∑ ∞
m=n+1 ||f m|| K ≤ ɛ für alle n ≥ n 0 . Also
gilt:
∞∑
∞∑
|f n (x) − f(x)| ≤ |f m (x)| ≤ ||f m || ≤ ɛ.
m=n+1
Also konvergiert die Folge F n gleichmäßig gegen F .
Beispiel 9.9. Solche Reihen wie
∞∑
n=1
arctan(nx)
n 2
konvergieren in diesem Sinn, da ∑ 1
n 2 < ∞.
m=n+1
Definition 9.10. Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form
wobei c n ∈ C eine Folge ist.
f(z) =
∞∑
c n (z − a) n ,
n=0
Satz 9.11.
Angenommen die Potenzreihe f(z) = ∑ ∞
n=0 c n(z −a) n konvergiert für ein z 1 ≠ a.
Dann existiert ein R ∈ R >0 ∪ {∞} mit R ≥ |z 1 − a|, so dass für alle r <
R die Potenzreihe f(z) absolut und gleichmäßig auf dem Kreis K = K(a, r)
konvergiert.
Notation 9.12. Dieses R heißt der Konvergenzradius von f(z). Beachte, dass die
Reihe für |z − a| = R nicht konvergieren muss: Ein Beispiel ist ∑ z n mir R = 1.
n
Dagegen hat die Reihe exp(z) den Konvergenzradius R = ∞. Ist etwa z 1 reell, so
folgt trotzdem die Konvergenz der Reihe in einem Kreis in C!
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