Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 5.13 (Majorantenkriterium).
Sei ∑ b n eine konvergente Reihe mit b n ≥ 0 und a n eine Folge mit |a n | ≤ b n für
alle n ≥ 1 (oder nur für fast alle, d.h. bis auf endlich viele). Dann ist die Reihe
∑
an absolut konvergent. ∑ b n heißt Majorante.
Beweis. Sei ɛ > 0 gegeben. Da ∑ b n konvergent ist, gibt es ein n 0 mit ∑ n
k=m b k <
ɛ für alle n ≥ m ≥ n 0 . Also ist auch
n∑
|a k | ≤
k=m
n∑
b k < ɛ
k=m
für alle n ≥ m ≥ n 0 . Damit ist ∑ a k absolut konvergent.
Beispiel 5.14. ∑ 1
hat für k ≥ 2 die Majorante ∑ 1
, da 1 ≤ 1 ≤ 1
n k n(n−1) n k n 2 n(n−1)
für n ≥ 2. Also ergibt sich ein neuer Beweis dafür, dass ∑ 1
konvergiert für
n k
k ≥ 2.
Korollar 5.15 (Divergenzkriterium). Ist 0 ≤ a n ≤ b n und ∑ a n divergent. Dann
ist auch ∑ b n divergent.
Beweis. Satz 5.13.
Satz 5.16 (Quotientenkriterium).
Sei ∑ a n eine Reihe mit | a n+1
a n
| ≤ q für eine feste positive Zahl q < 1 und alle n
bis auf endlich viele Ausnahmen. Dann konvergiert ∑ a n absolut.
Beweis. Es gilt:
|a n | ≤ q · |a n−1 | ≤ q 2 · |a n−2 | ≤ · · · ≤ q n |a 0 |
(eventuell ersetze 0 durch einen anderen Anfangsindex n 0 ) und damit
∑
|an | ≤ |a 0 | · ∑ q n = |a 0 | ·
1
1 − q .
Da die geometrische Reihe konvergent ist, folgt die Behauptung aus dem Majorantenkriterium.
Beispiele 5.17. • Beim Anwenden von Satz 5.16 muss man unbedingt die
Zahl q < 1 angeben können. Zum Beispiel gilt auch bei der harmonischen
Reihe a n+1
a n
= n < 1, aber es gibt kein q < 1, so dass n
< q für alle
n+1 n+1
n ≥ 1 ist.
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