Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 134. Bestimmen Sie die Extrema der folgenden Funktionen, sowie deren
Verhalten für x → ±∞. Skizzieren Sie den Graphen!
f : R → R, x → 1 − x2
1 + x 2
g : R → R, x → x 2 exp(−x)
Aufgabe 135. Es seien Funktionen f 1 , f 2 : R → R gegeben durch
{ x sin(
1
f 1 (x) =
) für x ≠ 0 {
x x
0 für x = 0 , f 2(x) =
2 sin( 1) für x ≠ 0
x
0 für x = 0
Berechnen Sie die Ableitungen f ′ 1(x) und f ′ 2(x) für x ≠ 0. Sind die Funktionen
f 1 (x) bzw. f 2 (x) differenzierbar in 0
Aufgabe 136. Beweisen Sie: Unter allen Rechtecken mit vorgegebenem Umfang
hat das Quadrat die größte Fläche.
Aufgabe 137. Es sei g eine beschränkte Funktion auf [−1, 1] und f(x) := x 2 g(x).
Zeige, dass f ′ (0) existiert und gleich 0 ist.
Aufgabe 138. Die Funktionen f und g seien auf I := (−r, r) (r > 0) differenzierbar,
es sei f(x)g(x) = x auf I und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass g(0) ≠ 0 gelten
muss.
Aufgabe 139. Ein Quader habe die Seitenlängen a, 2a und b und die fest vorgegebene
Oberfläche O. Berechne die Werte von a und b, für die das Volumen V
maximiert wird in Abhängigkeit von O. Welche konkreten Werte ergeben sich für
O = 48
Aufgabe 140. Betrachte die Funktion
{
f(x) = (1 + x) log(1 + x), x > −1
f : [−1, ∞[−→ R, x ↦→
0, x = −1.
Zeigen Sie zuerst, dass f stetig auf [−1, ∞[ ist. Bestimmen Sie alle Nullstellen
und Achsenschnittpunkte sowie alle lokalen und globalen Extrema von f(x).
Überprüfen Sie dabei jeweils, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.
In welchen Intervallen ist f konvex und konkav Zeichnen Sie den Graphen
der Funktion.
Aufgabe 141. Sei f : [a, b] → R eine Funktion mit der Eigenschaft, dass
|f(x) − f(x ′ )| ≤ C · |x − x ′ | 2
für alle x, x ′ ∈ [a, b] und eine Konstante C > 0. Zeigen Sie, dass f konstant ist.
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