Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 124. Die Funktion h : (a, b) → R sei n-mal differenzierbar und habe
n + 1 verschiedene Nullstellen in (a, b). Beweisen Sie, dass es ein ξ ∈ (a, b) gibt
mit h (n) (ξ) = 0.
Aufgabe 125. Schreiben Sie einem Kreis ein gleichschenkliges Dreieck mit größtem
Flächeninhalt ein!
Aufgabe 126. Gegeben ein Quader mit Seitenlänge der Länge a, b und c. Welche
Beziehung muss zwischen a, b und c bestehen, damit das Volumen des Quaders
bei vorgegeber Oberfläche maximal ist.
Aufgabe 127. Beweisen Sie: Zu jedem x > 1 mit x ≠ e = exp(1) gibt es genau
ein f(x) > 0 mit f(x) ≠ x und x f(x) = (f(x)) x .
Aufgabe 128. Man zeige: Sind m, n natürliche Zahlen mit 1 ≤ m < n und
m n = n m , so ist m = 2 und n = 4.
Aufgabe 129. Für x ∈ R seien f(x) := x+cos x sin x und g(x) := e sin x (x + cos x sin x).
1. Beweisen Sie, lim x→∞ f(x) = lim x→∞ g(x) = ∞.
2. Man zeige,
f ′ (x)
g ′ (x) = 2e− sin x cos x
2 cos x + f(x)
für alle x > 3 mit cos x ≠ 0 und untersuche, ob die rechte Seite der Gleichung
einen Grenzwert für x → ∞ besitzt.
3. Prüfen Sie, ob lim x→∞
f(x)
g(x) existiert.
Aufgabe 130. Es sei f : R → R eine Funktion derart, dass für jedes Polynom g
mit reellen Koeffizienten gilt f(g(x)) = g(f(x)) für alle x ∈ R. Man beweise:
f(x) = x für x ∈ R.
Aufgabe 131. Es sei f : R → R >0 eine differenzierbare Funktion. Zeige f ′ (x) =
f(x) für alle x ∈ R genau dann wenn f(x) = c · e x für eine Konstante c ∈ R.
Aufgabe 132. Seien a > b > 0 und n ∈ N mit n ≥ 2. Beweisen Sie
α 1 n − β
1
n < (α − β)
1
n .
Hinweis: Für x ≥ 1 sei f(x) = x 1 n
auf Monotonie.
− (x − 1) 1 n . Untersuchen Sie diese Funktion
Aufgabe 133. Sei f : R >0 → R, f(x) = log(x) gegeben. Geben Sie ein Formel
für die n-te Ableitung f (n) (x) an und beweisen Sie diese!
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