Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

4 Folgen und Grenzwerte
Inhalt: Folgen, Cauchyfolgen, Konvergenz, Vollständigkeitsaxiom, Intervallschachtelungen,
Quadratwurzeln.
Folgen und Konvergenz
Definition 4.1. Sei M eine Menge. Eine Folge (a n ) n∈N , oder kurz (a n ), in M ist
eine Abbildung a : N → M mit a(n) = a n ∈ M.
Beispiele 4.2.
• a n = n (M = N).
• a n = a ∈ M (konstante Folge).
• a n = 1 n ∈ Q.
• a n = (−1) n · 1
n
• a n = 3 −n ∈ Q.
∈ Q (alternierendes Vorzeichen).
Sei ab nun M = R die Menge der reellen Zahlen.
Definition 4.3. Eine Folge (a n ) heißt konvergent, falls ein a ∈ R existiert, so dass
gilt:
∀ɛ > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n ≥ n 0 |a n − a| < ɛ.
a heißt der Grenzwert oder Limes der Folge. Eine Folge, die gegen kein a konvergiert
heißt divergent.
Notation 4.4.
Bemerkung 4.5.
lim a n = lim a n = a.
n→∞
• Die Reihenfolge der logischen Zeichen ist sehr wichtig!
• Diese Definition ist eine der wichtigsten in der ganzen Analysis.
• n 0 hängt von ɛ ab. In der Regel muss man n 0 umso größer machen, je kleiner
ɛ ist.
Beispiele 4.6. • Die Folge a n = n ist divergent, denn nach dem Axiom (Ar)
von Archimedes gibt es zu jedem a ∈ R ein n 0 mit a n = n ≥ a + 1 für alle
n ≥ n 0 := ⌈a⌉ + 1. Damit gilt aber |a n − a| > 1 und die Definition der
Konvergenz ist nicht erfüllt.
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