Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Die erste Behauptung folgt sofort aus den Ungleichungen
und aus der Gleichung
|Re(a n − a)| ≤ |a n − a|, |Im(a n − a)| ≤ |a n − a|
|a n − a| = √ Re(a n − a) 2 + Im(a n − a) 2 .
Der Beweis für Cauchyfolgen geht genauso mit a m statt a. Vollständigkeitsaxiom:
Ist (a n ) eine Cauchyfolge, so sind Real- und Imaginärteil Cauchyfolgen und damit
konvergent. Also ist auch (a n ) konvergent.
Beispiel 5.29. Ist die komplexe Folge (a n ) konvergent, so ist auch die komplex
konjugierte Folge ā n konvergent, da Re(ā n ) = Re(a n ) und Im(ā n ) = −Im(a n ).
Satz 5.30.
Folgende Sätze gelten auch für komplexe Folgen: Summen, Differenzen, Produkte
und Quotientenfolgen konvergenter Folgen sind konvergent mit Summe, Differenz,
Produkt und Quotient als Limes. Weiterhin gilt das Quotienten-, Wurzel- und Majorantenkriterium
auch für Reihen in C.
Beweis. Wie in R.
Die wichtigste Eigenschaften von C sind:
Satz 5.31. C ist ein (nicht mehr angeordneter) Erweiterungskörper von R, der
das Vollständigkeitsaxiom erfüllt.
Es gilt auch:
Satz 5.32 (Fundamentalsatz der Algebra).
Jedes Polynom vom Grad m ≥ 1
F (T ) = a m T m + a m−1 T m−1 + · · · + a 1 T + a 0
mit a i ∈ C und a m ≠ 0 hat eine Nullstelle in C, d.h. ein a ∈ C mit F (a) = 0.
Komplexe Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus
Definition 5.33. Ist z ∈ C so setzt man wieder exp(z) = ∑ ∞ z n
n=0
und diese
n!
Reihe ist absolut konvergent nach dem Quotientenkriterium für alle z ∈ C. Man
definiert den Sinus und Kosinus als
für x ∈ R. Es gilt also die Formel
sin(x) := Im exp(ix), cos(x) := Re exp(ix)
exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
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